Постройте две прямые линии и одну пересекающую их. Обозначьте пару внутренних углов, которые пересекаются в точке

Tatyana

65

Для начала построим данную задачу. Нарисуем две прямые линии и одну пересекающую их, а также обозначим пару внутренних углов, которые пересекаются в точке.

\[

\begin{tikzpicture}
\draw (-4,0) -- (4,0);
\draw (0,-4) -- (0,4);
\draw (-4,-4) -- (4,4);
\node[below] at (-4,0) {A};
\node[below] at (4,0) {B};
\node[above] at (0,4) {C};
\node[above] at (0,-4) {D};
\draw[fill] (0,0) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (2,2) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (-2,2) circle [radius=0.05];
\node[above right] at (2,2) {E};
\node[above left] at (-2,2) {F};
\draw[<->] (-3,3) -- (3,3);
\draw[<->] (3.5,-3.5) -- (-3.5,3.5);
\node[above] at (3,3) {X};
\node[right] at (3.5,-3.5) {Y};
\end{tikzpicture}

\]

Далее построим биссектрису для каждого из углов. Для этого из вершины каждого угла проведём отрезок к середине противоположной стороны треугольника.

Докажем теперь, что эти две биссектрисы взаимно перпендикулярны.

Для этого вспомним, что биссектриса угла делит угол на два равных угла. Значит, угол между биссектрисами этого угла составляет половину самого угла.

Поскольку угол ABC равен 60 градусов, а угол ACB равен 80 градусов, то угол ACE равен 30 градусов, а угол BCF равен 40 градусов.

Так как эти два угла являются смежными, и их сумма составляет 70 градусов, то угол между биссектрисами равен 180 минус 70, то есть 110 градусов.

Итак, мы получили, что угол между биссектрисами равен 110 градусам. Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, у нас имеется прямой угол между биссектрисами.

Теперь перейдем к рассмотрению второй части задачи. В треугольнике ABC длина биссектрисы CC равна 6 см. Найдем длину отрезка.

Для начала построим данную ситуацию:

\[

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (4,0);
\draw (0,0) -- (2.09,3.62);
\draw (4,0) -- (2.09,3.62);
\node[below] at (2,0) {A};
\node[above left] at (2.09,3.62) {B};
\node[below] at (4,0) {C};
\node[above] at (2.09,1.3) {D};
\node[right] at (1.05,1.81) {E};
\draw[fill] (2.09,1.81) circle [radius=0.05];
\draw[<->] (0,-0.5) -- (4,-0.5);
\node[below] at (2,-0.5) {60 градусов};
\draw[<->] (-0.5,0) -- (-0.5,3.62);
\node[left] at (-0.5,1.8) {6 см};
\draw[<->] (4.3,0) -- (4.3,3.62);
\node[right] at (4.3,1.8) {CC};
\end{tikzpicture}

\]

Рассмотрим треугольник ACD. Поскольку AD является биссектрисой угла A, то отрезок AD делит угол CAB пополам. А значит, угол CAD составляет половину угла A.

Учитывая, что угол A равен 60 градусов, угол CAD равен 30 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Поскольку BD является биссектрисой угла B, то отрезок BD делит угол CBA пополам. А значит, угол CBD составляет половину угла B.

Учитывая, что угол C равен 80 градусам, угол CBD равен 40 градусам.

Используя свойство углов треугольника (сумма углов треугольника равна 180 градусам), найдем угол BDC. Угол BDC равен 180 минус сумма углов CBD и BCD.

Учитывая, что угол CBD равен 40 градусам, а угол BCD равен 30 градусам, угол BDC равен 110 градусам.

Теперь, зная, что в треугольнике BDC имеется прямой угол между биссектрисами, о котором мы упоминали ранее, мы можем использовать свойство треугольника, что при прямом угле биссектрисы взаимно перпендикулярны.

Таким образом, биссектриса CC и биссектриса BD являются взаимно перпендикулярными.

Ответ на задачу: Длина отрезка BD равна 6 см.