Постройте график параболы с уравнением y=-x^2+8x-7 и определите интервалы монотонности данной функции

Miroslav

33

Хорошо, рассмотрим задачу построения графика параболы и определению интервалов монотонности функции с уравнением \(y = -x^2 + 8x - 7\).

Для начала, давайте определим вершину параболы. В общем случае, вершина параболы задается уравнением \(\left( h, k \right)\), где \(h\) и \(k\) - это координаты вершины. В нашем случае у нас уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c\), так что координаты вершины можно найти с помощью формулы \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = f(h)\).

Для нашего уравнения параболы, коэффициенты \(a = -1\), \(b = 8\) и \(c = -7\), поэтому мы можем приступить к вычислениям:
\[h = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4\]
\[k = f(h) = -4^2 + 8 \cdot 4 - 7 = -16 + 32 - 7 = 9\]

Таким образом, вершина нашей параболы находится в точке \((4, 9)\).

Теперь, чтобы построить график параболы, мы можем использовать вершину и еще две точки, расположенные симметрично относительно вертикальной оси, чтобы получить симметричную параболу. Мы можем выбрать точки, например, справа и слева от вершины. Рассмотрим x-координату, равную 3 и 5.

Подставим значения x в наше уравнение и найдем соответствующие значения y:
При \(x = 3\):
\[y = -(3^2) + 8 \cdot 3 - 7 = -9 + 24 - 7 = 8\]

При \(x = 5\):
\[y = -(5^2) + 8 \cdot 5 - 7 = -25 + 40 - 7 = 8\]

Таким образом, у нас есть точки \((3, 8)\) и \((5, 8)\), которые являются симметричными относительно вертикальной оси.

Теперь мы можем построить график параболы, используя найденные точки.

\[graph { y = -x^2 + 8x - 7 } \]

На графике видно, что парабола направлена вниз и ее вершина находится в точке \((4, 9)\). Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный, то функция будет убывать на интервале от минус бесконечности до вершины параболы и возрастать на интервале от вершины параболы до плюс бесконечности.

Интервал монотонности данной функции:\( (-\infty, 4] \cup [4, +\infty) \)