Сколько клеток увидели закрашенными, когда провели диагональ в клеточном прямоугольнике 2020 * 2021 и закрасили

Полина

14

Для решения этой задачи давайте сначала определим количество клеток в прямоугольнике. Общее количество клеток в прямоугольнике размером 2020x2021 равно произведению количества клеток в каждом измерении: 2020 * 2021.

\[2020 \times 2021 = 4080420\]

Теперь рассмотрим количество клеток, которые пересекает диагональ. Диагональ пройдет через клетки с координатами (1, 1), (2, 2), (3, 3), ..., (2020, 2020), (2021, 2021). Общее количество клеток, пересекаемых диагональю, равно наибольшему общему делителю (НОД) чисел 2020 и 2021.

Теперь найдем НОД чисел 2020 и 2021. Для этого воспользуемся алгоритмом Евклида.

\[
\begin{align*}
2021 & = 2020 \cdot 1 + 1 \\
2020 & = 1 \cdot 2020 + 0 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, НОД(2020, 2021) = 1.

Следовательно, диагональ пересекает 1 клетку с каждым таким пересечением.

Таким образом, количество клеток, которые видят закрашенными, равно общему количеству клеток минус количество клеток, которые пересекает диагональ:

\[4080420 - 1 = 4080419\]

Итак, в прямоугольнике 2020x2021 после проведения диагонали и закрашивания клеток, которые пересекает эта диагональ, увидят закрашенными 4080419 клеток.