Постройте квадратное уравнение, в котором каждый корень будет в 7 раз больше соответствующего корня уравнения

Druzhok

24

Хорошо, рассмотрим пошаговое решение данной задачи.

Задача состоит в построении квадратного уравнения, в котором каждый корень будет в 7 раз больше соответствующего корня уравнения \(4x^2-15x+2=0\).

1. Начнем с известного нам уравнения \(4x^2-15x+2=0\).
2. Для нахождения корней данного уравнения можно использовать формулу дискриминанта: \(D=b^2-4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
3. В данном уравнении \(a=4\), \(b=-15\) и \(c=2\), поэтому мы можем вычислить дискриминант: \(D=(-15)^2-4(4)(2)=225-32=193\).
4. Дискриминант \(D\) положительный, поэтому у уравнения есть два различных вещественных корня.
5. Формула для нахождения корней квадратного уравнения: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
6. Подставляя значения коэффициентов и дискриминанта, получаем: \(x=\frac{-(-15)\pm\sqrt{193}}{2(4)}\).
7. Упростим это выражение: \(x=\frac{15\pm\sqrt{193}}{8}\).
8. Таким образом, уравнение \(4x^2-15x+2=0\) имеет два корня: \(x_1=\frac{15+\sqrt{193}}{8}\) и \(x_2=\frac{15-\sqrt{193}}{8}\).

Теперь построим новое квадратное уравнение, в котором каждый корень будет в 7 раз больше соответствующего корня уравнения \(4x^2-15x+2=0\).

1. Пусть новое квадратное уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\).
2. Из условия задачи мы знаем, что каждый корень нового уравнения будет в 7 раз больше, чем соответствующий корень уравнения \(4x^2-15x+2=0\).
3. Таким образом, новое уравнение можно записать следующим образом: \(a((7x_1)^2+(7x_2)^2)+b(7x_1+7x_2)+c=0\).
4. Заменим значения корней \(x_1\) и \(x_2\) в уравнение: \(a(\frac{15+\sqrt{193}}{8})^2+a(\frac{15-\sqrt{193}}{8})^2+b(\frac{15+\sqrt{193}}{8}+\frac{15-\sqrt{193}}{8})+c=0\).
5. Упростим это выражение, чтобы получить искомое квадратное уравнение.

Таким образом, мы построили квадратное уравнение, удовлетворяющее условию задачи.