Постройте на 4-х различных чертежах следующие отрезки, исходя из заданных точек А(1; -1), В(3; 1) и С(0

Zvezdnaya_Noch

25

Для построения данных отрезков на чертежах, мы будем использовать геометрические преобразования и свойства отрезков.

а) Чтобы построить отрезок, симметричный относительно точки С, мы можем использовать следующий подход:
1. Найдем середину отрезка AB. Для этого вычислим среднее арифметическое координат х и у точек A и B.
\(x_{AB} = \frac{{x_A + x_B}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\)
\(y_{AB} = \frac{{y_A + y_B}}{2} = \frac{{-1 + 1}}{2} = 0\)
2. Найдем вектор, соединяющий точку C и середину отрезка AB:
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x_C - x_{AB} \\ y_C - y_{AB} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 2 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
3. Построим точку D, симметричную точке B относительно точки С, используя вектор \(\overrightarrow{AC}\):
\(x_D = x_B + 2 \cdot (-2) = 3 + (-4) = -1\)
\(y_D = y_B + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5\)
4. Координаты точки D равны (-1, 5), и это будет конец отрезка, симметричного AB относительно С.

б) Чтобы построить отрезок, симметричный относительно точки B, мы будем использовать похожий подход:
1. Найдем середину отрезка AC:
\(x_{AC} = \frac{{x_A + x_C}}{2} = \frac{{1 + 0}}{2} = \frac{1}{2}\)
\(y_{AC} = \frac{{y_A + y_C}}{2} = \frac{{-1 + 2}}{2} = \frac{1}{2}\)
2. Найдем вектор, соединяющий точку B и середину отрезка AC:
\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} x_B - x_{AC} \\ y_B - y_{AC} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - \frac{1}{2} \\ 1 - \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)
3. Построим точку E, симметричную точке C относительно точки B, используя вектор \(\overrightarrow{BC}\):
\(x_E = x_C + \frac{5}{2} = 0 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\)
\(y_E = y_C + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
4. Координаты точки E равны (\(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\)), и это будет конец отрезка, симметричного AC относительно B.

в) Чтобы построить отрезок, параллельный AC и сдвинутый на вектор AB, выполните следующие шаги:
1. Найдем вектор AB:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
2. Сдвинем вектор AB на точку C:
\(\overrightarrow{AB_C} = \begin{pmatrix} x_C \\ y_C \end{pmatrix} + \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)
3. Построим точку F, которая будет концом отрезка, параллельного AC и сдвинутого на AB с точки C:
\(x_F = x_C + 2 = 0 + 2 = 2\)
\(y_F = y_C + 4 = 2 + 4 = 6\)
4. Координаты точки F равны (2, 6), и это будет конец параллельного отрезка AC, сдвинутого на AB.

г) Чтобы построить отрезок, полученный поворотом AC на 90 градусов против часовой стрелки относительно точки B, выполните следующие шаги:
1. Найдем вектор AB и умножим его на матрицу поворота на 90 градусов против часовой стрелки:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} x_{AC"} \\ y_{AC"} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
2. Построим точку G, которая будет концом отрезка, полученного путем поворота AC на 90 градусов против часовой стрелки относительно точки B:
\(x_G = x_B - 2 = 3 - 2 = 1\)
\(y_G = y_B + 2 = 1 + 2 = 3\)
3. Координаты точки G равны (1, 3), и это будет конец отрезка, полученного путем поворота AC на 90 градусов против часовой стрелки относительно точки B.

Теперь давайте составим список координат всех точек:

A1 (1, -1)
B1 (3, 1)
A2 (-1, 5)
C2 (0, 2)
D (-1, 5)
E (\(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\))
F (2, 6)
G (1, 3)

Используя эти координаты, вы можете построить каждый из этих отрезков на 4-х различных чертежах.