Пожалуйста, объясните мне, как преобразовать произведение в сумму? Пожалуйста, преобразуйте следующие выражения

Zvezdnaya_Tayna

40

Конечно, я помогу вам разобраться!

Чтобы преобразовать произведение в сумму, мы можем использовать формулы тригонометрии, а именно формулы сложения и вычитания для синуса и косинуса.

1) Для преобразования выражения sin 23 градуса умножить на sin 32 градуса в сумму, мы можем воспользоваться формулой произведения синусов:
\(\sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{{\cos(A - B) - \cos(A + B)}}{2}\)

Заменяя A на 23 градуса и B на 32 градуса, получаем:
\(\sin(23^\circ) \cdot \sin(32^\circ) = \frac{{\cos(23^\circ - 32^\circ) - \cos(23^\circ + 32^\circ)}}{2}\)

Вычислим разности и сумму углов внутри косинусов:
\(\cos(23^\circ - 32^\circ) = \cos(-9^\circ)\)
\(\cos(23^\circ + 32^\circ) = \cos(55^\circ)\)

Теперь подставим значения в формулу:
\(\sin(23^\circ) \cdot \sin(32^\circ) = \frac{{\cos(-9^\circ) - \cos(55^\circ)}}{2}\)

Ответ: \(\frac{{\cos(-9^\circ) - \cos(55^\circ)}}{2}\)

2) Аналогично, для преобразования выражения cos(pi/12) умножить на cos(pi/8) в сумму, мы можем использовать формулу произведения косинусов:
\(\cos(A) \cdot \cos(B) = \frac{{\cos(A - B) + \cos(A + B)}}{2}\)

Подставим значения в формулу, где A = pi/12 и B = pi/8:
\(\cos(\frac{\pi}{12}) \cdot \cos(\frac{\pi}{8}) = \frac{{\cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8}) + \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{8})}}{2}\)

Теперь вычислим разности и сумму углов внутри косинусов:
\(\cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{24})\)
\(\cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{5\pi}{24})\)

Подставим значения в формулу:
\(\cos(\frac{\pi}{12}) \cdot \cos(\frac{\pi}{8}) = \frac{{\cos(\frac{\pi}{24}) + \cos(\frac{5\pi}{24})}}{2}\)

Ответ: \(\frac{{\cos(\frac{\pi}{24}) + \cos(\frac{5\pi}{24})}}{2}\)

Теперь перейдем к представлению выражений в виде произведений:

1) Для представления выражения cos(pi/5) - cos(pi/11) в виде произведения, воспользуемся формулой разности косинусов:
\(\cos(A) - \cos(B) = -2 \cdot \sin(\frac{A+B}{2}) \cdot \sin(\frac{A-B}{2})\)

Подставим значения, где A = pi/5, B = pi/11:
\(\cos(\frac{\pi}{5}) - \cos(\frac{\pi}{11}) = -2 \cdot \sin(\frac{\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{11}}{2}) \cdot \sin(\frac{\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{11}}{2})\)

Упростим выражение в скобках:
\(\sin(\frac{\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{11}}{2}) = \sin(\frac{6\pi+5\pi}{55}) = \sin(\frac{11\pi}{55})\)
\(\sin(\frac{\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{11}}{2}) = \sin(\frac{6\pi-5\pi}{55}) = \sin(\frac{\pi}{55})\)

Подставим значения в формулу:
\(\cos(\frac{\pi}{5}) - \cos(\frac{\pi}{11}) = -2 \cdot \sin(\frac{11\pi}{55}) \cdot \sin(\frac{\pi}{55})\)

Ответ: \(-2 \cdot \sin(\frac{11\pi}{55}) \cdot \sin(\frac{\pi}{55})\)

2) Теперь рассмотрим выражение cos(3pi/8) + cos(5pi/4), чтобы представить его в виде произведения.
В данном случае мы не можем воспользоваться простыми формулами. Однако, можно использовать тригонометрические тождества, такие как формула суммы косинусов:
\(\cos(A) + \cos(B) = 2 \cdot \cos(\frac{A+B}{2}) \cdot \cos(\frac{A-B}{2})\)

Подставим значения, где A = 3pi/8, B = 5pi/4:
\(\cos(\frac{3\pi}{8}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) = 2 \cdot \cos(\frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{5\pi}{4}}{2}) \cdot \cos(\frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{5\pi}{4}}{2})\)

Упростим выражение в скобках:
\(\cos(\frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{5\pi}{4}}{2}) = \cos(\frac{13\pi}{16})\)
\(\cos(\frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{5\pi}{4}}{2}) = \cos(\frac{-7\pi}{16})\)

Подставим значения в формулу:
\(\cos(\frac{3\pi}{8}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) = 2 \cdot \cos(\frac{13\pi}{16}) \cdot \cos(\frac{-7\pi}{16})\)

Ответ: \(2 \cdot \cos(\frac{13\pi}{16}) \cdot \cos(\frac{-7\pi}{16})\)

Надеюсь, что ответы понятны и помогут вам разобраться в преобразовании произведений в суммы и наоборот!