For which values of parameter a are all the roots of the equation x²-4ax+4a²-a-10=0 less than?

Liya_6776

13

Чтобы найти значения параметра a, при которых все корни уравнения \(x^2-4ax+4a^2-a-10=0\) меньше, мы можем использовать дискриминант. Дискриминант используется для определения количества корней уравнения и их характеристик.

Для данного уравнения, дискриминант D равен:

\[D = b^2 - 4ac\]

где a, b, и c соответствуют коэффициентам уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае:

\[a = 1,\]
\[b = -4a,\]
\[c = 4a^2 - a - 10.\]

Теперь, нам нужно определить условие, при котором все корни меньше. Когда все корни уравнения меньше, значит дискриминант D должен быть положительным, и при этом уравнение должно иметь два различных вещественных корня.

То есть мы имеем два условия:

1) \(D > 0\) - положительный дискриминант
2) Уравнение имеет два различных вещественных корня

Давайте теперь решим это уравнение:

\[D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - a - 10)\]
\[D = 16a^2 - 4(4a^2 - a - 10)\]
\[D = 16a^2 - 16a^2 + 4a + 40\]
\[D = 4a + 40\]

Теперь нам нужно найти значения параметра \(a\), при которых \(D > 0\):

\[4a + 40 > 0\]
\[4a > -40\]
\[a > -10\]

Таким образом, значения параметра \(a\), при которых все корни уравнения меньше, будут \(a > -10\).

Для того, чтобы убедиться, что уравнение имеет два различных вещественных корня, мы можем также посчитать дискриминант для нашего ответа \(a > -10\):

\[D = 4a + 40\]
\[D = 4(-9) + 40\]
\[D = 4\]

Так как D положительное число, это подтверждает, что уравнение имеет два различных вещественных корня для \(a > -10\).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что значения параметра \(a\), при которых все корни уравнения \(x^2-4ax+4a^2-a-10=0\) меньше, это \(a > -10\).