Представляет ли функция y=x^-1/3 возрастающую функцию?

Светлый_Ангел

5

Разберемся вместе с вашей задачей. Итак, у нас есть функция \( y = x^{-\frac{1}{3}} \) и мы должны выяснить, является ли она возрастающей функцией.

Чтобы понять, является ли функция возрастающей на всем своем диапазоне определения, нужно проанализировать изменение значения функции при изменении значения аргумента.

Для этого мы можем просто взять две точки на графике функции и сравнить их значения. Выберем две точки, например, \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 8 \). Подставим их в функцию и посмотрим, что получится:

При \( x_1 = 1 \) получаем:
\[ y_1 = 1^{-\frac{1}{3}} = 1 \]

При \( x_2 = 8 \) получаем:
\[ y_2 = 8^{-\frac{1}{3}} \]

Теперь сравним значения \( y_1 \) и \( y_2 \). Если \( y_1 < y_2 \), то функция является возрастающей. Если \( y_1 > y_2 \), то функция является убывающей.

Давайте вычислим значения \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = 1^{-\frac{1}{3}} = 1 \]

\[ y_2 = 8^{-\frac{1}{3}} \approx 0,5 \]

Получается, что \( y_1 < y_2 \), то есть значение \( y \) увеличивается при увеличении значения \( x \). Таким образом, функция \( y = x^{-\frac{1}{3}} \) является возрастающей.

Для лучшего понимания, я представлю вам график функции \( y = x^{-\frac{1}{3}} \):

\[
\begin{{center}}
\begin{{tikzpicture}}
\begin{{axis}}[
axis lines=middle,
xlabel=\( x \),
ylabel=\( y \),
xmin=-10,
xmax=10,
ymin=-10,
ymax=10,
xtick={-10,-9,...,10},
ytick={-10,-9,...,10},
]
\addplot[blue,domain=0.01:10,samples=100]{x^(-1/3)};
\addplot[blue,domain=-10:-0.01,samples=100]{x^(-1/3)};
\end{axis}
\end{{tikzpicture}}
\end{{center}}
\]

На этом графике видно, что функция \( y = x^{-\frac{1}{3}} \) возрастает на всем своем диапазоне определения. Это подтверждает наше вычисление и ответ на задачу.

Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.