Какова вероятность того, что из 7 извлеченных перчаток будет 3 синие и 4 черные? Пожалуйста, предоставьте объяснения

Evgeniya

4

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и вероятность.

Для начала определим общее количество способов извлечь 7 перчаток из набора. Мы можем использовать формулу сочетаний:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Здесь \(n\) - это количество элементов в наборе, а \(k\) - это количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае, \(n = 7\) (общее количество перчаток) и \(k = 7\) (количество перчаток, которые мы выбираем).

Теперь рассмотрим случай, когда извлекли 3 синие и 4 черные перчатки. Сначала определим количество способов выбрать 3 синие перчатки из доступных 5 синих перчаток. Мы снова используем формулу сочетаний:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Так как у нас имеется 5 синих перчаток, \(n = 5\), а нам нужно выбрать 3 из них, поэтому \(k = 3\).

Далее рассмотрим количество способов выбрать 4 черные перчатки из доступных 4 черных перчаток. Здесь ситуация аналогична предыдущей, поэтому \(n = 4\) и \(k = 4\).

Теперь, чтобы найти вероятность данного события, мы делим количество способов выбрать перчатки заданного цвета на общее количество способов выбрать все перчатки:
\[P = \frac{\text{количество способов выбрать 3 синие}}{\text{общее количество способов выбрать все перчатки}} \times \frac{\text{количество способов выбрать 4 черные}}{\text{общее количество способов выбрать все перчатки}}\]

Подставив соответствующие значения, мы можем вычислить численную вероятность этого события.

Например:
\[P = \frac{C_5^3}{C_7^7} \times \frac{C_4^4}{C_7^7}\]

Подсчитаем значения:
\[P = \frac{\frac{5!}{3!(5-3)!}}{\frac{7!}{7!(7-7)!}} \times \frac{\frac{4!}{4!(4-4)!}}{\frac{7!}{7!(7-7)!}}\]

Упростим числитель и знаменатель:
\[P = \frac{\frac{5!}{3!2!}}{\frac{7!}{7!0!}} \times \frac{\frac{4!}{4!0!}}{\frac{7!}{7!0!}}\]

Упростим еще больше:
\[P = \frac{5!}{3!2!} \times \frac{4!}{4!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!2!} \times \frac{4!}{4!}\]

Сокращаем факториалы и вычисляем:
\[P = \frac{5 \times 4}{2} \times 1 = 10\]

Итак, вероятность того, что из 7 извлеченных перчаток будет 3 синие и 4 черные, равна 10 или \(\frac{10}{1}\).