При каких значениях a функция f(x)=a(2sinx*cos^2x+1) не превышает

Romanovna_9824

23

Для того чтобы определить, при каких значениях \(a\) функция \(f(x) = a(2\sin(x)\cos^2(x) + 1)\) не превышает заданное значение, мы должны сначала понять, каков диапазон значений для функции \(f(x)\).

Начнем с анализа внутреннего выражения \(2\sin(x)\cos^2(x) + 1\). Заметим, что этот выражение не может быть меньше 1, так как \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) принимают значения от -1 до 1, а квадрат неотрицательного числа также не может быть отрицательным. Таким образом, внутреннее выражение может принимать значения от 1 до \(2\cos^2(x) + 1\) включительно.

Далее, чтобы узнать, при каких значениях функция \(f(x)\) не превышает заданное значение, воспользуемся неравенством:

\[f(x) \leq y\]

Подставим выражение для функции \(f(x)\):

\[a(2\sin(x)\cos^2(x) + 1) \leq y\]

Разделим обе части неравенства на \(a\):

\[2\sin(x)\cos^2(x) + 1 \leq \frac{y}{a}\]

Теперь нам нужно найти условия на переменную \(x\), чтобы выражение \(\frac{y}{a}\) было больше или равно 1. Это возможно только при положительных значениях \(a\) и \(y\).

Таким образом, при любых положительных значениях \(a\) и \(y\), функция \(f(x) = a(2\sin(x)\cos^2(x) + 1)\) не превышает заданное значение.