При каких значениях х точки графика функции у=log0,4(x^2+0,6x) пересекают прямую у=1 или находятся выше нее?

Петрович

1

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово и подробно.

У нас есть график функции \(y = \log_{0.4}(x^2 + 0.6x)\) и прямая \(y = 1\). Нас интересуют значения \(x\), при которых эти две функции пересекаются или находятся выше прямой \(y = 1\).

1. Для начала, нам нужно найти точки пересечения этих двух функций. Для этого приравняем \(y\) в обоих функциях:
\[\log_{0.4}(x^2 + 0.6x) = 1\]

2. Теперь у нас есть уравнение, которое нужно решить относительно \(x\). Давайте избавимся от логарифма, возведя обе части уравнения в степень 0.4:
\[x^2 + 0.6x = (0.4)^1\]

3. Упростим правую часть уравнения:
\[x^2 + 0.6x = 0.4\]

4. Перенесем все члены уравнения в левую часть:
\[x^2 + 0.6x - 0.4 = 0\]

5. Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. Мы можем использовать формулу дискриминанта или выполнить факторизацию. В данном случае мы воспользуемся формулой дискриминанта. Дискриминант \(D\) определяется следующим образом:
\[D = b^2 - 4ac\], где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

6. Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:
\[D = (0.6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.4)\]
\[D = 0.36 + 1.6\]
\[D = 1.96\]

7. Теперь вычислим корни уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит следующим образом:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов:
\[x = \frac{-0.6 \pm \sqrt{1.96}}{2}\]

8. Теперь рассмотрим два случая:

a) Первый случай, когда значение \(x\) расположено выше прямой \(y = 1\). В этом случае, корни уравнения будут меньше или равны другому решению этих квадратных уравнений. Поскольку в логарифме отрицательные значения не определены, мы можем принять только положительное решение.

b) Второй случай, когда значение \(x\) пересекает прямую \(y = 1\).

9. Теперь, мы можем вычислить значения \(x\):

a) Для первого случая:
\[x \leq \frac{-0.6 + \sqrt{1.96}}{2}\]

b) Для второго случая:
\[x \geq \frac{-0.6 - \sqrt{1.96}}{2}\]

10. Таким образом, значения \(x\), при которых график функции \(y = \log_{0.4}(x^2 + 0.6x)\) пересекает прямую \(y = 1\) или находится выше нее, будут находиться в интервале от \(\frac{-0.6 - \sqrt{1.96}}{2}\) до \(\frac{-0.6 + \sqrt{1.96}}{2}\).

Надеюсь, что объяснение и решение этой задачи достаточно понятны для вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!