Как найти максимальную скорость движения точки, которая движется прямолинейно по закону s=-1/6t^3+1/2t^2+1/2t+1?

Ангелина_2464

66

Чтобы найти максимальную скорость движения точки, нам следует рассмотреть производную функции \(s(t)\) по времени \(t\), так как скорость - это производная по времени от функции \(s(t)\).

Итак, начнем с вычисления производной функции \(s(t)\):
\[ \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (-\frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}t + 1) \]

Чтобы найти производную, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности. Производная константы равна нулю, поэтому последнее слагаемое "1" не повлияет на результат:
\[ \frac{ds}{dt} = -\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} \]

Это производная функции \(s(t)\). Чтобы найти максимальную скорость, нам нужно найти, при каком значении времени производная равна нулю. Это произойдет, когда:
\[ -\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} = 0 \]

Давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти значения \(t\) для которых уравнение равно нулю. Формула дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]

В данном случае у нас есть квадратное уравнение вида \(at^2 + bt + c = 0\), где \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = 1\) и \(c = \frac{1}{2}\). Подставляя значения получаем:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} \]

Упрощая выражение получаем:
\[ D = 1 - 4 \cdot(-\frac{1}{4}) = 1 - (-1) = 2 \]

Так как дискриминант \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Найдем значения времени, при которых производная равна нулю, используя формулы для корней квадратного уравнения:
\[ t_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляя значения получаем:
\[ t_{1, 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{-1} = 1 \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, у нас есть два значения времени, при которых производная функции равна нулю: \(t = 1 + \sqrt{2}\) и \(t = 1 - \sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти максимальную скорость, нам нужно найти значение производной при этих значениях времени. Подставим \(t = 1 + \sqrt{2}\) и \(t = 1 - \sqrt{2}\) в производную функции:
\[ v_{\text{макс}} = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{2}) + \frac{1}{2} \]
\[ v_{\text{макс}} = -\frac{1}{2}(1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2}) + \frac{1}{2} \]
\[ v_{\text{макс}} = -\frac{1}{2}(1 + 2\sqrt{2} + 2) + 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} \]
\[ v_{\text{макс}} = -\frac{1}{2}(3 + 2\sqrt{2}) + 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} \]
\[ v_{\text{макс}} = -\frac{1}{2}(2 + 2\sqrt{2}) + 1 + \sqrt{2} \]
\[ v_{\text{макс}} = -1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \]
\[ v_{\text{макс}} = 0 \]

Второй корень \(t = 1 - \sqrt{2}\) даёт такой же ответ:
\[ v_{\text{макс}} = 0 \]

Таким образом, максимальная скорость точки, движущейся по закону \(s = -\frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}t + 1\), равна \(0\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти максимальную скорость и выполнять подобные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы или нужна помощь с другими задачами - я всегда готов помочь!