При каких значениях параметра а корень уравнения а^2 * x^2 + 4 * а * x - 5 равен 1/4?

Якша_8059

44

Хорошо, разберемся с этой задачей. Нам дано уравнение ${а}^2\cdot x^2+4\cdot а\cdot x-5$ и мы ищем значения параметра $а$, при которых корень этого уравнения равен $\frac{1}{4}$.

Для начала, нам нужно найти корни этого уравнения. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для квадратных уравнений. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

$$D=b^2-4ac$$

где $a$, $b$ и $c$ – это соответственно коэффициенты при $x^2$, $x$ и свободный член уравнения.

В нашем случае, $a={а}^2$, $b=4\cdot а$, $c=-5$. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$$D=(4\cdot а{)}^2-4\cdot {а}^2\cdot (-5)$$

Упростим это выражение:

$$D=16\cdot {а}^2+20\cdot {а}^2$$

$$D=36\cdot {а}^2$$

Теперь мы можем найти корни уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Расставим значения:

$$x=\frac{-4a\pm \sqrt{36a^2}}{2a}$$

Упростим выражение:

$$x=\frac{-4a\pm 6a}{2a}$$

$$x=\frac{-2a\pm 3a}{a}$$

Теперь мы имеем два варианта для корней:

1. Подставим $x=\frac{-2a+3a}{a}$:

$$x=\frac{a}{a}$$

$$x=1$$

2. Подставим $x=\frac{-2a-3a}{a}$:

$$x=\frac{-5a}{a}$$

$$x=-5$$

Таким образом, для значения параметра $а$, при котором корень уравнения ${а}^2\cdot x^2+4\cdot а\cdot x-5$ равен $\frac{1}{4}$, имеем $a=1$.

Также стоит отметить, что корней может быть и больше, но в данной задаче мы рассматриваем только тот случай, когда корень равен $\frac{1}{4}$ и параметр $а=1$.