При каких значениях параметра а корень уравнения а^2 * x^2 + 4 * а * x - 5 равен 1/4?

Якша_8059

44

Хорошо, разберемся с этой задачей. Нам дано уравнение \(а^2 \cdot x^2 + 4 \cdot а \cdot x - 5\) и мы ищем значения параметра \(а\), при которых корень этого уравнения равен \(\frac{1}{4}\).

Для начала, нам нужно найти корни этого уравнения. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для квадратных уравнений. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) – это соответственно коэффициенты при \(x^2\), \(x\) и свободный член уравнения.

В нашем случае, \(a = а^2\), \(b = 4 \cdot а\), \(c = -5\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (4 \cdot а)^2 - 4 \cdot а^2 \cdot (-5)\]

Упростим это выражение:

\[D = 16 \cdot а^2 + 20 \cdot а^2\]

\[D = 36 \cdot а^2\]

Теперь мы можем найти корни уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Расставим значения:

\[x = \frac{-4a \pm \sqrt{36a^2}}{2a}\]

Упростим выражение:

\[x = \frac{-4a \pm 6a}{2a}\]

\[x = \frac{-2a \pm 3a}{a}\]

Теперь мы имеем два варианта для корней:

1. Подставим \(x = \frac{-2a + 3a}{a}\):

\[x = \frac{a}{a}\]

\[x = 1\]

2. Подставим \(x = \frac{-2a - 3a}{a}\):

\[x = \frac{-5a}{a}\]

\[x = -5\]

Таким образом, для значения параметра \(а\), при котором корень уравнения \(а^2 \cdot x^2 + 4 \cdot а \cdot x - 5\) равен \(\frac{1}{4}\), имеем \(a = 1\).

Также стоит отметить, что корней может быть и больше, но в данной задаче мы рассматриваем только тот случай, когда корень равен \(\frac{1}{4}\) и параметр \(а = 1\).