При каких значениях параметра а площадь фигуры, определенной системой неравенств, будет равна 8П (пи)?

Загадочный_Убийца

4

Для решения данной задачи нам потребуется записать систему неравенств, определяющую фигуру, и найти значения параметра "а", при которых площадь этой фигуры будет равна 8П.

Пусть фигура находится в координатной плоскости и задается системой неравенств:

\[
\begin{cases}
y \geq 0 \\
y \leq \sqrt{a-x^2} \\
x \geq -\sqrt{a} \\
x \leq \sqrt{a}
\end{cases}
\]

Здесь \(y \geq 0\) означает, что y неотрицательно, \(y \leq \sqrt{a-x^2}\) определяет верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{a}\), а \(x \geq -\sqrt{a}\) и \(x \leq \sqrt{a}\) задают горизонтальный отрезок между точками (-\sqrt{a}, 0) и (\sqrt{a}, 0).

Для нахождения значений параметра "а", при которых площадь фигуры будет равна 8П, рассмотрим интеграл от функции, описывающей верхнюю полуокружность, от нижней границы до верхней:

\[
S = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \sqrt{a-x^2} dx
\]

Вычисление этого интеграла даст нам площадь фигуры, в которой мы заинтересованы.

Интегрируя функцию \(\sqrt{a-x^2}\) по переменной x, мы получим:

\[
S = \left. \frac{1}{2} (x\sqrt{a-x^2} + a\arcsin{\frac{x}{\sqrt{a}}}) \right|_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}
\]

Вычисляя эту разность значений при пределах интегрирования, получаем:

\[
S = \frac{\pi a}{2} - (-\frac{\pi a}{2}) = \pi a
\]

Таким образом, площадь фигуры, определенной системой неравенств, равна \(\pi a\).

Согласно условию задачи, необходимо найти значения параметра "а", при которых площадь равна 8П. Подставляя это в уравнение, получаем:

\(\pi a = 8\pi\)

Делим обе части уравнения на \(\pi\):

\(a = 8\)

Таким образом, при \(a = 8\) площадь фигуры, определенной системой неравенств, будет равна 8П.