При каких значениях параметра p уравнение x2+px+34=0 имеет корень с величиной

Puteshestvennik_Vo_Vremeni

47

Для нахождения значений параметра \(p\), при которых уравнение \(x^2 + px + 34 = 0\) имеет корень с величиной \(\lvert x \rvert\), мы можем использовать дискриминант уравнения.

Дискриминант \(D\) определяется следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\), где у нас имеется квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = p\), а \(c = 34\). Заменим эти значения в формулу для дискриминанта и проанализируем его значение.

\[D = p^2 - 4(1)(34)\]

Для того чтобы уравнение имело корень с величиной \(\lvert x \rvert\), дискриминант должен быть равен нулю или положительному числу. Поскольку мы ищем значения параметра \(p\), где корень имеет конкретное значение, поэтому \(\lvert x \rvert\) равно нулю.

Если \(\lvert x \rvert = 0\), это означает, что у нас есть множество возможных значений параметра \(p\), при которых это условие выполняется.

Теперь, решим уравнение для дискриминанта:

\[D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = p^2 - 136\]

Как мы упомянули ранее, для того чтобы уравнение имело корень с величиной \(\lvert x \rvert\), дискриминант должен быть равен нулю или положительному числу. Значит:

\[p^2 - 136 \geq 0\]

Решим это неравенство:

\[p^2 \geq 136\]

Чтобы найти значения \(p\), удовлетворяющие этому неравенству, возьмем корень из обеих сторон:

\(\lvert p \rvert \geq \sqrt{136}\)

Учитывая, что мы ищем значения \(p\), при которых корень имеет конкретное значение, у нас есть две возможности:

1. Если \(\lvert p \rvert > \sqrt{136}\), тогда у нас есть бесконечное множество значений для \(p\), удовлетворяющих условию.

2. Если \(\lvert p \rvert = \sqrt{136}\), тогда у нас есть одно конкретное значение для \(p\), удовлетворяющее условию.

Таким образом, при значениях параметра \(p\) больше или равных \(\sqrt{136}\) уравнение \(x^2 + px + 34 = 0\) имеет корень с величиной \(\lvert x \rvert\).