1. Постройте график следующих функций: а) y = −3x; б) y = 2x − 2. Является ли функция возрастающей (убывающей) на всем

Чайный_Дракон

8

1. а) Чтобы построить график функции \(f(x) = -3x\), мы будем использовать точку и наклон.

Точка : \(f(0) = -3 \cdot 0 = 0\), поэтому у нас есть точка (0, 0).

Наклон: функция \(f(x) = -3x\) имеет коэффициент наклона -3. Это означает, что для каждого единичного изменения входного значения x, выходное значение y будет увеличиваться на 3, и наоборот.

Теперь мы можем построить график, используя эту информацию. Он будет представлять собой прямую линию, проходящую через точку (0, 0) с наклоном -3.

б) Для функции \(g(x) = 2x - 2\) также используем точку и наклон.

Точка : \(g(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2\), поэтому у нас есть точка (0, -2).

Наклон: функция \(g(x) = 2x - 2\) имеет коэффициент наклона 2. Это означает, что для каждого единичного изменения входного значения x, выходное значение y будет увеличиваться на 2.

Теперь мы можем построить график, используя эту информацию. Он будет представлять собой прямую линию, проходящую через точку (0, -2) с наклоном 2.

Обе функции построены, и мы можем ответить на вопрос, являются ли они возрастающими или убывающими на всем множестве \(R\). Функция \(f(x) = -3x\) является убывающей, так как у нее отрицательный коэффициент наклона. Функция \(g(x) = 2x - 2\) является возрастающей, так как у нее положительный коэффициент наклона.

2. а) Для функции \(f(x) = -2x^2\) построим график.

Для начала можем найти вершину параболы, приравняв производную функции к нулю:
\[f"(x) = -4x = 0\]
\[x = 0\]
Таким образом, вершина параболы находится в точке (0, 0).

Также можно найти характер движения параболы, смотря на коэффициент \(a\). В данном случае \(a = -2\), что означает, что парабола будет направлена вниз.

Теперь мы можем построить график, используя эту информацию. Парабола будет направлена вниз и иметь вершину в точке (0, 0).

б) Для функции \(g(x) = (x + 2)^2 - 2\) построим график.

То, что функция имеет вид \((x + a)^2\), говорит нам, что у нее вершина в точке (-a, -2).

В данном случае, вершина будет в точке (-2, -2).

Также, так как коэффициент перед \(x^2\) положительный, парабола будет направлена вверх.

Теперь можем построить график, используя эту информацию. Парабола будет направлена вверх и иметь вершину в точке (-2, -2).

Чтобы найти интервалы возрастания (убывания) функции, нам нужно знать, как функция движется на всем множестве \(R\). Функция \(f(x) = -2x^2\) убывает на всем множестве \(R\), так как она имеет отрицательный коэффициент перед \(x^2\). Функция \(g(x) = (x + 2)^2 - 2\) возрастает на всем множестве \(R\), так как она имеет положительный коэффициент перед \(x^2\).

3. У нас есть график функции \(y = kx + b\), который проходит через точки A(0, -3) и B(2, 1). Найдем значения k и b, используя эти точки.

Подставим значения точки A в уравнение функции:
\(-3 = k \cdot 0 + b\)
\(-3 = b\)

Таким образом, мы нашли значение b, оно равно -3.

Теперь подставим значения точки B в уравнение функции:
\(1 = k \cdot 2 + (-3)\)
\(1 = 2k - 3\)
\(2k = 1 + 3\)
\(2k = 4\)
\(k = 2\)

Мы нашли значения k и b, они равны 2 и -3 соответственно.

4. Построим график функции \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).

Как мы можем видеть, данная функция является параболой вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\).

Чтобы найти вершину параболы, можем использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\):
\[x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]

Теперь подставим значение \(x = 3\) в уравнение функции, чтобы найти значение \(y\):
\[f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, -4).

Теперь, чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы смотрим на знак коэффициента \(a\). В данном случае, коэффициент \(a = 1\), что означает, что парабола будет направлена вверх и функция будет возрастать с каждым увеличением значения x за пределами точки перегиба.

Таким образом, функция \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) будет возрастать на интервале \((-\infty, 3)\) и убывать на интервале \((3, +\infty)\).