При каком значении (a) график данной квадратичной функции y=ax2-(a-3)x+1 пересекает ось абсцисс только в одной точке?

Ястреб_7691

21

Чтобы найти значение \(a\), при котором график данной квадратичной функции пересекает ось абсцисс только в одной точке, нам нужно определить условия, при которых уравнение функции имеет один корень.

У нас дана квадратичная функция вида \(y = ax^2 - (a-3)x + 1\). Чтобы найти условия для единственного пересечения с осью абсцисс, нам нужно найти дискриминант уравнения и установить условия, при которых дискриминант равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 - (a-3)x + 1\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

В нашем случае, коэффициенты равны: \(a = a\), \(b = -(a-3)\), \(c = 1\). Подставим их в формулу дискриминанта:

\[D = (-(a-3))^2 - 4(a)(1) = (a-3)^2 - 4a\]

Чтобы уравнение имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

\[D = 0\]

Подставим \(D = 0\) в уравнение для дискриминанта и решим получившееся уравнение:

\[(a-3)^2 - 4a = 0\]

Раскроем скобки:

\[a^2 - 6a + 9 - 4a = 0\]

Соберем все члены уравнения вместе:

\[a^2 - 10a + 9 = 0\]

Здесь мы получили квадратное уравнение. Для нахождения решений используем формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:

\[D = (-10)^2 - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64\]

Так как дискриминант больше нуля (\(D > 0\)), то уравнение имеет два корня.

Решим уравнение, применяя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значения коэффициентов и решаем уравнение:

\[x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

\[x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Таким образом, квадратичная функция пересекает ось абсцисс только в одной точке при \(a = 9\), а сумма корней равна \(x_1 + x_2 = 9 + 1 = 10\).

Наши решения подтверждены, и формулы подсчета всех значений даны для полного понимания школьником.