При каком значении λ система векторов {a₁, a₂} становится линейно независимой, а система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} остается

Milana

39

Для решения данной задачи, нам необходимо разобраться с понятием линейной независимости векторов и применить его к каждой из систем.

1) Система векторов {a₁, a₂} становится линейно независимой, когда ни один вектор этой системы не может быть выражен через линейную комбинацию остальных векторов системы. Другими словами, система линейно независима, если уравнение:

\[x₁a₁ + x₂a₂ = 0\]

имеет только тривиальное решение \(x₁ = x₂ = 0\).

2) Система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} остается линейно независимой, когда она не может быть выражена через линейную комбинацию других векторов системы. То есть, уравнение:

\[c₁(λa₁ + a₂) + c₂(a₁ + λa₂) = 0\]

имеет только тривиальное решение \(c₁ = c₂ = 0\).

Теперь рассмотрим каждую систему векторов по отдельности:

1) Система векторов {a₁, a₂}:

Пусть векторы a₁ = (x₁, y₁) и a₂ = (x₂, y₂).

Применим определение линейной независимости к системе векторов {a₁, a₂}:

\[x₁a₁ + x₂a₂ = (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) = 0.\]

Таким образом, система векторов {a₁, a₂} становится линейно независимой, когда выполняются условия \(x₁ + x₂ = 0\) и \(y₁ + y₂ = 0\).

2) Система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂}:

Применим определение линейной независимости к системе векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂}:

\[c₁(λa₁ + a₂) + c₂(a₁ + λa₂) = c₁(λx₁, λy₁) + c₂(x₁ + λx₂, y₁ + λy₂) = (c₁λx₁ + c₂(x₁ + λx₂), c₁λy₁ + c₂(y₁ + λy₂)) = 0.\]

Таким образом, система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} остается линейно независимой, когда выполняются условия \(c₁λx₁ + c₂(x₁ + λx₂) = 0\) и \(c₁λy₁ + c₂(y₁ + λy₂) = 0\).

Итак, теперь рассмотрим каждое условие по отдельности:

1) Система векторов {a₁, a₂} становится линейно независимой, когда выполняются условия \(x₁ + x₂ = 0\) и \(y₁ + y₂ = 0\).

2) Система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} остается линейно независимой, когда выполняются условия \(c₁λx₁ + c₂(x₁ + λx₂) = 0\) и \(c₁λy₁ + c₂(y₁ + λy₂) = 0\).

Теперь найдем значения \(\lambda\) при которых системы становятся линейно независимыми.

1) Система векторов {a₁, a₂} становится линейно независимой, когда \(x₁ + x₂ = 0\) и \(y₁ + y₂ = 0\).

Из условия \(x₁ + x₂ = 0\) следует, что \(x₁ = -x₂\).
Аналогично, из условия \(y₁ + y₂ = 0\) следует, что \(y₁ = -y₂\).

Теперь, если мы подставим эти значения в уравнение \(x₁a₁ + x₂a₂ = 0\), получим:

\((-x₂) * a₁ + (x₂) * a₂ = 0.\)

Таким образом, система векторов {a₁, a₂} становится линейно независимой, когда \(λ \neq 1, 2.\)

2) Система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} остается линейно независимой.

Из уравнений \(c₁λx₁ + c₂(x₁ + λx₂) = 0\) и \(c₁λy₁ + c₂(y₁ + λy₂) = 0\) можно выделить следующие случаи:

- Если \(\lambda = 1\), то уравнения принимают вид:

\(c₁x₁ + c₂(x₁ + x₂) = 0\)
\(c₁y₁ + c₂(y₁ + y₂) = 0\)

Решим систему данных уравнений. Поделим первое уравнение на \(x₁\), а второе уравнение на \(y₁\):

\(c₁ + c₂(1 + \frac{x₂}{x₁}) = 0\)
\(c₁ + c₂(1 + \frac{y₂}{y₁}) = 0\)

Условие линейной независимости означает, что уравнения не могут иметь нетривиального решения. Нетривиальное решение есть, когда \(c₁ \neq 0\) и \(c₂ \neq 0\), при этом условии у нас нет решений. Конечно, когда x₁ ≠ 0 и y₁ ≠ 0.

Таким образом, в случае, если \(\lambda = 1\), система векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} не остается линейно независимой. Значит, мы исключаем этот случай.

- Если \(\lambda ≠ 1\), то уравнения принимают вид:

\(c₁λx₁ + c₂(x₁ + λx₂) = 0\)
\(c₁λy₁ + c₂(y₁ + λy₂) = 0\)

Для получения нетривиального решения уравнений при данных условиях, мы должны рассмотреть два случая:

1. Если \(c₁ = 0\) и \(c₂ \neq 0\), то уравнения принимают вид:

\(c₂(x₁ + λx₂) = 0\)
\(c₂(y₁ + λy₂) = 0\)

Это означает, что \(c₂ = 0\) или \(x₁ + λx₂ = 0\) или \(y₁ + λy₂ = 0\). При \(\lambda \neq -\frac{x₁}{x₂}\) и \(\lambda \neq -\frac{y₁}{y₂}\), мы не имеем нетривиального решения.

2. Если \(c₁ \neq 0\) и \(c₂ = 0\), то уравнения принимают вид:

\(c₁λx₁ = 0\)
\(c₁λy₁ = 0\)

Это означает, что \(c₁ = 0\) или \(c₂ = 0\) или \(λ = 0\). При \(\lambda \neq 0\) и \(c₁ \neq 0\), условие линейной независимости выполняется.

Таким образом, для системы векторов {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} остаются линейно независимыми, когда \(\lambda \neq 1, 2\).

В итоге, ответ на задачу - система векторов {a₁, a₂} становится линейно независимой, когда \(\lambda \neq 1, 2\), а система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} остается линейно независимой, когда \(\lambda \neq 1, 2\).