При яких значеннях a рівняння x2-5ax+1=0 має лише один розв язок?

Ярослав

16

Для того чтобы решить данную задачу, мы должны определить условия, при которых уравнение \(x^2 - 5ax + 1 = 0\) имеет только один корень.

Для уравнения квадратного типа \(ax^2 + bx + c = 0\) существует формула дискриминанта, которая позволяет нам определить количество корней их значения. Дискриминант вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

Если дискриминант \(D > 0\), то у уравнения два различных корня, если \(D = 0\), то уравнение имеет только один корень, и если \(D < 0\) уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, уравнение \(x^2 - 5ax + 1 = 0\) имеет коэффициенты \(a = 1\), \(b = -5a\) и \(c = 1\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-5a)^2 - 4(1)(1)\]

Упростим выражение:

\[D = 25a^2 - 4\]

Теперь опишем условие, при котором уравнение имеет только один корень. Если \(D = 0\), то это будет означать, что уравнение имеет только один корень. Поэтому мы можем записать это условие в виде уравнения:

\[25a^2 - 4 = 0\]

Теперь решим это уравнение:

\[25a^2 = 4\]
\[a^2 = \frac{4}{25}\]
\[a = \pm \frac{2}{5}\]

Таким образом, при значениях \(a = \frac{2}{5}\) или \(a = -\frac{2}{5}\) уравнение \(x^2 - 5ax + 1 = 0\) имеет только один корень.