Проведите решение следующих неравенств: а) 7 - 2x > 9; б) 5х - 2(х - 4) ≤ 9х + 20; в) х² < 4; г) х2 - 6х + 8 >

Yarmarka

59

Конечно! Разберем каждое неравенство по отдельности:

а) Неравенство $7-2x>9$:

Для начала, перенесем все значения на одну сторону, чтобы получить ноль на другой стороне:

$$7-2x-9>0$$

Затем преобразуем выражение:

$$-2x-2>0$$

Теперь разделим обе стороны на -2 с учетом изменения направления неравенства:

$$x+1<0$$

Теперь посмотрим на неравенство $x+1<0$. Чтобы найти решение неравенства, нужно определить значения $x$, которые удовлетворяют этому неравенству. Здесь требуется найти значения $x$, при которых $x+1$ отрицательно.

Мы знаем, что $-1$ является корнем этого уравнения. Все значения $x$ меньше $-1$ будут делать выражение $x+1$ отрицательным.

Таким образом, решением этого неравенства является множество значений $x$, для которых $x<-1$.

б) Неравенство $5x-2(x-4)\le 9x+20$:

Для начала, выполним раскрытие скобок:

$$5x-2x+8\le 9x+20$$

Просуммируем одинаковые слагаемые и преобразуем выражение:

$$3x+8\le 9x+20$$

Теперь перенесем все значения на одну сторону:

$$3x-9x\le 20-8$$

$$-6x\le 12$$

Затем разделим обе стороны на -6 с учетом изменения направления неравенства:

$$x\ge -2$$

Таким образом, решением этого неравенства является множество значений $x$, для которых $x$ больше или равно $-2$.

в) Неравенство $x^2<4$:

Данное неравенство является квадратным, поэтому мы должны решить его с использованием факторизации или графического метода.

$x^2<4$ может быть переписано в виде $(x-2)(x+2)<0$.

Для решения этого неравенства, рассмотрим каждый множитель отдельно:

$(x-2)<0$ и $(x+2)>0$.

Из первого множителя получаем, что $x<2$, а из второго множителя получаем, что $x>-2$.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для каждого множителя:

$$\begin{array}{|cccc|}\hline & x<-2& -2<x<2& x>2\\ (x-2)& -& +& +\\ (x+2)& -& +& +\\ \hline\end{array}$$

Теперь рассмотрим комбинации знаков:

1) Когда $(x-2)<0$ и $(x+2)<0$, значение выражения $(x-2)(x+2)$ будет положительным. Но данное неравенство требует, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому эта комбинация не подходит.

2) Когда $(x-2)>0$ и $(x+2)>0$, значение выражения будет также положительным. Но наше неравенство требует, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому эта комбинация также не подходит.

3) Когда $(x-2)<0$ и $(x+2)>0$, значение выражения будет отрицательным, что соответствует условиям нашего неравенства. Таким образом, это и есть решение.

Таким образом, решением неравенства $x^2<4$ является множество значений $x$, для которых $-2<x<2$.

г) Неравенство $x^2-6x+8$:

Для начала, раскроем скобки:

$x^2-6x+8=0$

Поскольку данное уравнение является квадратным, мы можем решить его с использованием факторизации или квадратного корня.

Факторизуя данное выражение, получим:

$(x-4)(x-2)=0$

Теперь у нас есть два возможных значения $x$:

1) $x-4=0$, откуда получим $x=4$.

2) $x-2=0$, откуда получим $x=2$.

Таким образом, решением данного уравнения являются значения $x=4$ и $x=2$.

Однако, это не является решением данного неравенства. Чтобы найти решение неравенства $x^2-6x+8>0$, мы можем построить график данной функции и найти интервалы, на которых она положительна. Но для решения данного неравенства мы также можем воспользоваться факторизацией.

Факторизуя $x^2-6x+8$ в неравенстве, получаем:

$(x-4)(x-2)>0$

Теперь мы можем рассмотреть каждый множитель по отдельности:

1) $(x-4)>0$ и $(x-2)>0$. Из этого следует, что $x>4$ и $x>2$. Таким образом, $x$ должно быть больше 4.

2) $(x-4)<0$ и $(x-2)<0$. Из этого следует, что $x<4$ и $x<2$. Таким образом, $x$ должно быть меньше 2.

Теперь посмотрим на таблицу знаков:

$$\begin{array}{|cccc|}\hline & x<2& 2<x<4& x>4\\ (x-4)& -& -& +\\ (x-2)& -& +& +\\ \hline\end{array}$$

Теперь рассмотрим комбинации знаков:

1) Когда $(x-4)>0$ и $(x-2)>0$, значение выражения будет положительным. Но наше неравенство требует, чтобы выражение было больше нуля, поэтому эта комбинация не подходит.

2) Когда $(x-4)<0$ и $(x-2)<0$, значение выражения также будет положительным. Опять же, эта комбинация не подходит.

3) Когда $(x-4)>0$ и $(x-2)<0$, значение выражения будет отрицательным, что соответствует условиям неравенства. Таким образом, это и есть решение.

Таким образом, решением неравенства $x^2-6x+8>0$ является множество значений $x$, для которых $2<x<4$.