Проведите решение следующих неравенств: а) 7 - 2x > 9; б) 5х - 2(х - 4) ≤ 9х + 20; в) х² < 4; г) х2 - 6х + 8 >

Yarmarka

59

Конечно! Разберем каждое неравенство по отдельности:

а) Неравенство \(7 - 2x > 9\):

Для начала, перенесем все значения на одну сторону, чтобы получить ноль на другой стороне:

\[7 - 2x - 9 > 0\]

Затем преобразуем выражение:

\[-2x - 2 > 0\]

Теперь разделим обе стороны на -2 с учетом изменения направления неравенства:

\[x + 1 < 0\]

Теперь посмотрим на неравенство \(x + 1 < 0\). Чтобы найти решение неравенства, нужно определить значения \(x\), которые удовлетворяют этому неравенству. Здесь требуется найти значения \(x\), при которых \(x + 1\) отрицательно.

Мы знаем, что \(-1\) является корнем этого уравнения. Все значения \(x\) меньше \(-1\) будут делать выражение \(x + 1\) отрицательным.

Таким образом, решением этого неравенства является множество значений \(x\), для которых \(x < -1\).

б) Неравенство \(5x - 2(x - 4) \leq 9x + 20\):

Для начала, выполним раскрытие скобок:

\[5x - 2x + 8 \leq 9x + 20\]

Просуммируем одинаковые слагаемые и преобразуем выражение:

\[3x + 8 \leq 9x + 20\]

Теперь перенесем все значения на одну сторону:

\[3x - 9x \leq 20 - 8\]

\[-6x \leq 12\]

Затем разделим обе стороны на -6 с учетом изменения направления неравенства:

\[x \geq -2\]

Таким образом, решением этого неравенства является множество значений \(x\), для которых \(x\) больше или равно \(-2\).

в) Неравенство \(x^2 < 4\):

Данное неравенство является квадратным, поэтому мы должны решить его с использованием факторизации или графического метода.

\(x^2 < 4\) может быть переписано в виде \((x - 2)(x + 2) < 0\).

Для решения этого неравенства, рассмотрим каждый множитель отдельно:

\((x - 2) < 0\) и \((x + 2) > 0\).

Из первого множителя получаем, что \(x < 2\), а из второго множителя получаем, что \(x > -2\).

Теперь мы можем построить таблицу знаков для каждого множителя:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& x < -2 & -2 < x < 2 & x > 2 \\
\hline
(x - 2) & - & + & + \\
\hline
(x + 2) & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь рассмотрим комбинации знаков:

1) Когда \((x - 2) < 0\) и \((x + 2) < 0\), значение выражения \((x - 2)(x + 2)\) будет положительным. Но данное неравенство требует, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому эта комбинация не подходит.

2) Когда \((x - 2) > 0\) и \((x + 2) > 0\), значение выражения будет также положительным. Но наше неравенство требует, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому эта комбинация также не подходит.

3) Когда \((x - 2) < 0\) и \((x + 2) > 0\), значение выражения будет отрицательным, что соответствует условиям нашего неравенства. Таким образом, это и есть решение.

Таким образом, решением неравенства \(x^2 < 4\) является множество значений \(x\), для которых \(-2 < x < 2\).

г) Неравенство \(x^2 - 6x + 8\):

Для начала, раскроем скобки:

\(x^2 - 6x + 8 = 0\)

Поскольку данное уравнение является квадратным, мы можем решить его с использованием факторизации или квадратного корня.

Факторизуя данное выражение, получим:

\((x - 4)(x - 2) = 0\)

Теперь у нас есть два возможных значения \(x\):

1) \(x - 4 = 0\), откуда получим \(x = 4\).

2) \(x - 2 = 0\), откуда получим \(x = 2\).

Таким образом, решением данного уравнения являются значения \(x = 4\) и \(x = 2\).

Однако, это не является решением данного неравенства. Чтобы найти решение неравенства \(x^2 - 6x + 8 > 0\), мы можем построить график данной функции и найти интервалы, на которых она положительна. Но для решения данного неравенства мы также можем воспользоваться факторизацией.

Факторизуя \(x^2 - 6x + 8\) в неравенстве, получаем:

\((x - 4)(x - 2) > 0\)

Теперь мы можем рассмотреть каждый множитель по отдельности:

1) \((x - 4) > 0\) и \((x - 2) > 0\). Из этого следует, что \(x > 4\) и \(x > 2\). Таким образом, \(x\) должно быть больше 4.

2) \((x - 4) < 0\) и \((x - 2) < 0\). Из этого следует, что \(x < 4\) и \(x < 2\). Таким образом, \(x\) должно быть меньше 2.

Теперь посмотрим на таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& x < 2 & 2 < x < 4 & x > 4 \\
\hline
(x - 4) & - & - & + \\
\hline
(x - 2) & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь рассмотрим комбинации знаков:

1) Когда \((x - 4) > 0\) и \((x - 2) > 0\), значение выражения будет положительным. Но наше неравенство требует, чтобы выражение было больше нуля, поэтому эта комбинация не подходит.

2) Когда \((x - 4) < 0\) и \((x - 2) < 0\), значение выражения также будет положительным. Опять же, эта комбинация не подходит.

3) Когда \((x - 4) > 0\) и \((x - 2) < 0\), значение выражения будет отрицательным, что соответствует условиям неравенства. Таким образом, это и есть решение.

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 6x + 8 > 0\) является множество значений \(x\), для которых \(2 < x < 4\).