Пусть A1=3, A2=8, A3=13, ... Докажите, что существует бесконечное количество числовых последовательностей

Letuchiy_Demon

2

Для доказательства данного утверждения, давайте построим бесконечное количество числовых последовательностей B, удовлетворяющих указанным свойствам.

По условию, задана последовательность A со следующими членами: A1=3, A2=8, A3=13, и так далее. Мы заметим, что для любого натурального числа n, мы можем найти формулу, которая связывает некоторые члены последовательности A. Действительно, мы можем записать A(n) = 5n - 2.

Теперь, чтобы построить последовательность B, удовлетворяющую указанным свойствам, мы можем выбрать B1 = 7.

Затем, используя третье свойство, мы можем выбрать n таким образом, что A(n) = B1. Такое n всегда существует, так как последовательность A имеет бесконечное количество членов, и следовательно, бесконечное количество совпадающих членов с последовательностью B.

После выбора значения n, мы можем найти значение d, при котором B2 = B1 + d. Заметим, что это возможно, так как для каждого значения n, последовательность A(n) имеет следующее выражение: A(n+1) = A(n) + 5. Таким образом, мы можем записать d = 5.

Используя второе свойство, мы можем сконструировать остальные члены последовательности B следующим образом: Bk = B(k-1) + d. То есть, B3 = B2 + d, B4 = B3 + d, и так далее. Мы можем продолжать этот процесс бесконечно много раз, создавая бесконечное количество числовых последовательностей B, удовлетворяющих заданным свойствам.

Таким образом, мы доказали, что существует бесконечное количество числовых последовательностей B с указанными свойствами.