Пусть a1 - первый элемент геометрической прогрессии r - знаменатель прогрессии. Дано, что a1 = 243 и r = -2/3. Найдите

Kirill

37

Хорошо, давайте найдем значение шестого элемента геометрической прогрессии и сумму первых шести элементов.
Для этого нам понадобятся формулы для нахождения элементов геометрической прогрессии.

1. Формула для нахождения элемента геометрической прогрессии:
\(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\),
где \(a_n\) - n-ый элемент прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - порядковый номер элемента.

2. Формула для нахождения суммы первых n элементов геометрической прогрессии:
\(S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\),
где \(S_n\) - сумма первых n элементов прогрессии.

Теперь приступим к решению задачи.

1. Найдем шестой элемент геометрической прогрессии (\(a_6\)):
Подставим известные значения в формулу:
\(a_6 = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{(6-1)}\),
\(a_6 = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^5\).

Посчитаем значение по формуле и округлим до ближайшего целого числа:
\(a_6 = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^5 \approx -180.055\).
Значит, шестой элемент геометрической прогрессии примерно равен -180.

2. Найдем сумму первых шести элементов геометрической прогрессии (\(S_6\)):
Подставим известные значения в формулу:
\(S_6 = \frac{243 \cdot (1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^6)}{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)}\),
\(S_6 = \frac{243 \cdot (1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^6)}{1 + \frac{2}{3}}\).

Посчитаем значение по формуле:
\(S_6 = \frac{243 \cdot (1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^6)}{1 + \frac{2}{3}}\).
\(S_6 \approx \frac{243 \cdot (1 - \frac{64}{729})}{\frac{5}{3}}\).
\(S_6 \approx \frac{243 \cdot (\frac{665}{729})}{\frac{5}{3}}\).
\(S_6 \approx \frac{88755}{243} \cdot \frac{3}{5}\).
\(S_6 \approx \frac{88755}{5}\).
\(S_6 \approx 17751\).

Таким образом, шестой элемент геометрической прогрессии примерно равен -180, а сумма первых шести элементов равна 17751.