Какие значения переменной y являются допустимыми для выражения y-1/y(y+4)?

Kosmicheskiy_Puteshestvennik

60

Чтобы определить допустимые значения для выражения \(y - \frac{1}{y(y+4)}\), нам нужно рассмотреть два случая: недопустимое значение знаменателя и недопустимое значение переменной y.

1. Значение знаменателя не может быть равным нулю, так как деление на ноль неопределено. Таким образом, y(y+4) не может быть равно нулю. Рассмотрим два подслучая:

a. Если знаменатель равен нулю, то \(y(y+4) = 0\). Здесь есть две возможности: y = 0 или y + 4 = 0.

- Если y = 0, то получаем, что знаменатель равен 0(4) = 0, что недопустимо. Значит, y = 0 не является допустимым значением.
- Если y + 4 = 0, то y = -4. В этом случае получаем знаменатель -4(-4+4) = 0, что также недопустимо. Таким образом, y = -4 не является допустимым значением.

b. Если знаменатель не равен нулю, то мы можем приступить к оценке допустимых значений переменной y. Для этого рассмотрим неравенство \(y(y+4) > 0\). Решим его с помощью метода интервалов (знаков).

- Представим неравенство в виде таблицы знаков, указывая знак произведения \(y(y+4)\) для различных интервалов y:
\[
\begin{array}{|cccc|}
\hline
\text{Интервал} & y & y+4 & y(y+4) \\
\hline
-\infty < y < -4 & - & - & + \\
-4 < y < 0 & - & + & - \\
y > 0 & + & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

- Из таблицы знаков видно, что произведение \(y(y+4)\) положительно в интервалах \(-\infty < y < -4\) и \(y > 0\). То есть, в этих интервалах значения переменной y являются допустимыми.

2. Таким образом, допустимые значения переменной y для выражения \(y - \frac{1}{y(y+4)}\) - это все значения y, кроме 0 и -4. Математически можно записать это в виде: \(y \in (-\infty, -4) \cup (-4, 0) \cup (0, +\infty)\).