Пусть вероятность того, что случайно выбранная деталь не является стандартной, составляет 0,15. Найдите вероятность

Ariana_4095

35

Пусть \(p\) - вероятность того, что случайно выбранная деталь является стандартной, тогда вероятность того, что случайно выбранная деталь не является стандартной, будет равна \(1-p\).

а) Чтобы найти вероятность того, что из восьми выбранных деталей половина будут стандартными, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

Вероятность выбрать стандартную деталь - \(p\), а нестандартную - \(1-p\).

Количество способов выбрать половину стандартных деталей из восьми равно \(\binom{8}{4}\), потому что мы выбираем 4 детали из 8.

Таким образом, вероятность будет равна:

\[
P(\text{{а}}) = \binom{8}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^4
\]

б) Чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна из семи выбранных деталей будет нестандартной, мы можем воспользоваться комплементарной вероятностью, то есть найти вероятность обратного события (что все детали будут стандартными) и вычесть ее из 1.

Вероятность выбрать стандартную деталь - \(p\), а нестандартную - \(1-p\).

Вероятность выбрать только стандартные детали из семи будет равна \(p^7\).

Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна деталь будет нестандартной будет равна:

\[
P(\text{{б}}) = 1 - p^7
\]

в) Чтобы найти вероятность того, что среди 100 выбранных деталей 90 будут стандартными, мы также можем воспользоваться биномиальным распределением.

Вероятность выбрать стандартную деталь - \(p\), а нестандартную - \(1-p\).

Количество способов выбрать 90 стандартных деталей из 100 равно \(\binom{100}{90}\), потому что мы выбираем 90 деталей из 100.

Таким образом, вероятность будет равна:

\[
P(\text{{в}}) = \binom{100}{90} \cdot p^{90} \cdot (1-p)^{10}
\]

г) Чтобы найти вероятность того, что среди 150 выбранных деталей количество стандартных деталей не превысит \(k\), мы можем просуммировать вероятности для \(k\) от 0 до 150.

Вероятность выбрать стандартную деталь - \(p\), а нестандартную - \(1-p\).

Таким образом, вероятность будет равна:

\[
P(\text{{г}}) = \sum_{k=0}^{150} \binom{150}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{150-k}
\]