Рассчитайте, используя предварительный эскиз, площадь области, заключенной между следующими линиями: y=0,5x^2, y=0

Семён_6198

6

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом мы можем нарисовать график двух функций, чтобы лучше представлять себе область, о которой говорится в задаче.

Функция \(y = 0,5x^2\) - это парабола с вершиной в начале координат (0,0) и открывающаяся вверх. Она будет выглядеть как парабола с "раскрытыми" ветвями, и она будет положительной для любого значения \(x\).

Функция \(y = 0\) - это горизонтальная прямая, которая проходит через начало координат (0,0). Она находится на оси \(x\) и не имеет высоты.

Теперь, чтобы найти площадь между этими двумя линиями, мы будем находить интеграл от разности \(y\) между этими функциями. Формула для этого будет: \(\int_{a}^{b} (y_1 - y_2) \,dx\), где \(y_1 = 0,5x^2\) и \(y_2 = 0\).

Область между этими двумя линиями будет заключена между \(x\)-координатами \(x = a\) и \(x = b\). Поскольку задача не указывает конкретные значения \(a\) и \(b\), мы предположим, что \(a\) и \(b\) - это значения, на которых касательные к параболе будут пересекать ось \(x\).

Определим, на каких \(x\) линии \(y = 0,5x^2\) пересекает \(y = 0\). Для этого мы должны приравнять \(0,5x^2\) к нулю и решить это уравнение:

\(0,5x^2 = 0\)

Решением этого уравнения является \(x = 0\). Получается, что область заключена между \(x = 0\) и \(x = a\) (как мы предполагали) и \(x = b\).

Теперь мы можем записать интеграл для расчета площади области:

\[S = \int_{0}^{a} (0,5x^2 - 0) \,dx\]

Чтобы решить этот интеграл, мы возьмем антипроизводную \(0,5x^2\), которая будет результатом \(\frac{1}{3} \cdot 0,5x^3\). Затем мы можем вычислить значение этой антипроизводной на пределе от 0 до \(a\) и вычислить разность значений:

\[S = \frac{1}{3} \cdot 0,5 \cdot a^3 - \frac{1}{3} \cdot 0,5 \cdot 0^3\]

Так как \(0^3\) равно 0, второе слагаемое будет равно нулю, и формула упрощается до:

\[S = \frac{1}{3} \cdot 0,5 \cdot a^3\]

Итак, площадь области, заключенной между \(y = 0,5x^2\) и \(y = 0\) равна \(\frac{1}{3} \cdot 0,5 \cdot a^3\).

Я надеюсь, что эта подробная пошаговая информация помогла вам понять, как решить задачу и получить ответ. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!