Рассчитайте значение выражения (Передайте дробь в ответе в виде конечной десятичной дроби или целого числа

Барон

4

Для начала рассмотрим первое слагаемое внутри скобки \(4\cot(\frac{\pi}{4})\). Так как котангенс является обратной функцией к тангенсу, мы можем использовать тождество \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\). В данном случае, угол \(\frac{\pi}{4}\) соответствует \(45\) градусам.

Тангенс угла \(45\) градусов равен единице (\(\tan(45^\circ) = 1\)), что означает, что \(\cot(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{1} = 1\).

Теперь рассмотрим второе слагаемое внутри скобки \(45\cot^2(-\frac{\pi}{3})\). Аналогично, воспользуемся тождеством \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\). Угол \(-\frac{\pi}{3}\) соответствует \(60\) градусам.

Тангенс угла \(60\) градусов равен \(\sqrt{3}\) (\(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\)). Теперь мы можем вычислить \(\cot(-\frac{\pi}{3})\) как обратное значение тангенса и получить \(\cot(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Теперь возведем это значение в квадрат: \(45\cot^2(-\frac{\pi}{3}) = 45(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 45\frac{3}{3^2} = 45\frac{3}{9} = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15\).

Теперь остается сложить первое и второе слагаемое: \(4\cot(\frac{\pi}{4}) - 45\cot^2(-\frac{\pi}{3}) = 4\cdot 1 - 15 = 4 - 15 = -11\).

Итак, значение выражения \(4\cot(\frac{\pi}{4}) - 45\cot^2(-\frac{\pi}{3})\) равно \(-11\).