Разложите многочлен 10х³ + х² + 10х + 1 на множители и найдите его значение, если х

Snezhok

57

Для начала мы можем попытаться разложить даный многочлен на множители с помощью теоремы Безу. Теорема Безу гласит, что если многочлен делится на (х - а), то a является корнем этого многочлена.

Для того чтобы найти корень многочлена, мы можем использовать метод подстановки. Поскольку у нас есть многочлен третьей степени, мы можем пробовать разные целочисленные значения х и подставлять их в многочлен, чтобы получить 0.

Давайте начнем с подстановки значения x = 1:
10(1)³ + (1)² + 10(1) + 1 = 10 + 1 + 10 + 1 = 22

Как мы видим, при х = 1 многочлен не равен 0. Попробуем другое значение х.

Давайте попробуем х = -1:
10(-1)³ + (-1)² + 10(-1) + 1 = -10 + 1 - 10 + 1 = -18

Наше второе значение не приводит к получению 0. Попробуем еще одно значение х.

Давайте попробуем х = -2:
10(-2)³ + (-2)² + 10(-2) + 1 = -80 + 4 - 20 + 1 = -95

Снова не получилось. У нас есть еще одно значение х, которое мы можем проверить.

Давайте попробуем х = -0.1:
10(-0.1)³ + (-0.1)² + 10(-0.1) + 1 = -0.1 + 0.01 - 1 + 1 = 0.91

Получилось 0. Значит, х = -0.1 является корнем многочлена.

Теперь мы знаем, что (х + 0.1) является множителем многочлена. Чтобы найти другие множители, мы можем применить синтетическое деление или метод деления с остатком.

Применим синтетическое деление:

10 1 10 1
________________
-0.1 | 10 1 10 1
-1 -0.9 -1.09
______________
9 0.1 -0.09

Получается, что мы получили остаток -0.09. Таким образом, многочлен 10х³ + х² + 10х + 1 равен (х + 0.1)(10х² + 0.1).

Теперь давайте найдем значение многочлена, зная, что х = -0.1:

10(-0.1)³ + (-0.1)² + 10(-0.1) + 1 = -0.001 + 0.01 - 0.1 + 1 = 0.9089

Значение многочлена равно 0.9089, когда х = -0.1.