Решить уравнение 1/8 log2 (x-2)^8 + log2 (x+4) = 3. В предыдущем сообщении есть фото

Pugayuschiy_Lis

1

Дана задача на решение уравнения: \(\frac{1}{8}\log_2{(x-2)^8} + \log_2{(x+4)} = 3\).

Шаг 1: Приведение выражений к общему основанию

Поскольку у нас есть логарифмы с разными основаниями, приведем их к общему основанию. В данном случае это будет основание 2, поскольку у нас есть логарифмы по основанию 2.

Используем свойство логарифма: \(\log_a{b^n} = n\log_a{b}\).

Таким образом, у нас получится следующее: \(\frac{1}{8}\cdot 8\log_2{(x-2)} + \log_2{(x+4)} = 3\).

Упрощаем выражение и получаем: \(\log_2{(x-2)} + \log_2{(x+4)} = 3\).

Шаг 2: Применение свойства логарифма для сложения

Пользуемся формулой: \(\log_a{(b\cdot c)} = \log_a{b} + \log_a{c}\).

Применим это свойство для сложения двух логарифмов: \(\log_2{(x-2)(x+4)} = 3\).

Шаг 3: Применение свойства логарифма для отрицательного основания

Если у нас есть логарифм с отрицательным основанием, мы можем применить следующее свойство: \(\log_a{(-b)} = \log_a{b} + i\pi\), где \(i\) - мнимая единица, \(\pi\) - число пи.

Применяя это свойство в данной задаче, получаем: \(\log_2{(x-2)(x+4)} = 3 + i\pi\).

Шаг 4: Перевод в экспоненциальную форму

Чтобы решить это уравнение, мы можем перевести его в экспоненциальную форму.

Используем определение логарифма и записываем уравнение в экспоненциальной форме: \(2^3 = (x-2)(x+4)\).

Таким образом, получаем: \(8 = (x-2)(x+4)\).

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Раскрываем скобки и приводим квадратное уравнение к стандартному виду: \(8 = x^2 + 2x - 8\).

Переносим все слагаемые влево: \(x^2 + 2x - 16 = 0\).

Шаг 6: Факторизация квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение путем факторизации.

Мы ищем два числа, такие что их сумма равна 2, а их произведение равно -16. Такими числами будут 4 и -4.

В результате факторизации, уравнение принимает следующий вид: \((x+4)(x-4) = 0\).

Шаг 7: Решение уравнения

Для решения уравнения, мы приравниваем каждый множитель к нулю: \(x+4 = 0\) и \(x-4 = 0\).

Решаем эти два уравнения и находим значения \(x\). Получаем: \(x = -4\) и \(x = 4\).

Ответ: Уравнение \(\frac{1}{8}\log_2{(x-2)^8} + \log_2{(x+4)} = 3\) имеет два решения: \(x = -4\) и \(x = 4\).