Решите первую задачу, опираясь на первый критерий параллельности прямых. Решите вторую задачу, используя второй признак

Добрая_Ведьма

57

Конечно! Давайте начнем с первой задачи, используя первый критерий параллельности прямых.

Задача 1: Даны прямая \(l_1: y = 2x + 3\) и точка \(A(1, 5)\). Необходимо провести прямую через точку \(A\), параллельную прямой \(l_1\).

Решение:
1. Первый критерий параллельности прямых заключается в том, что у них одинаковый наклон.
2. Прямая \(l_1: y = 2x + 3\) имеет наклон \(2\).
3. Так как искомая прямая параллельна \(l_1\), то ее уравнение будет иметь вид \(y = 2x + c\).
4. Чтобы найти значение \(c\), подставим координаты точки \(A(1, 5)\) в уравнение прямой: \(5 = 2 * 1 + c\).
5. Отсюда получаем: \(c = 3\).
6. Итак, уравнение искомой прямой: \(y = 2x + 3\).

Теперь перейдем ко второй задаче, где мы будем использовать второй признак параллельности прямых.

Задача 2: Даны прямая \(k_1: 3x + 4y = 8\) и точка \(B(2, 1)\). Необходимо провести прямую через точку \(B\), параллельную прямой \(k_1\).

Решение:
1. Второй признак параллельности прямых гласит, что у прямых пропорциональны коэффициенты при \(x\) и при \(y\).
2. Прямая \(k_1: 3x + 4y = 8\) имеет пропорциональные коэффициенты \(3\) и \(4\).
3. Так как искомая прямая параллельна \(k_1\), то ее уравнение будет иметь вид \(3x + 4y = c\).
4. Чтобы найти значение \(c\), подставим координаты точки \(B(2, 1)\) в уравнение прямой: \(3 * 2 + 4 * 1 = 8 + c\).
5. Отсюда получаем: \(c = 6\).
6. Итак, уравнение искомой прямой: \(3x + 4y = 6\).

Перейдем к третьей задаче, где мы будем использовать третий признак параллельности прямых.

Задача 3: Даны две прямые \(m_1: 2x - 3y = 4\) и \(m_2: 4x - 6y = 8\). Требуется определить, являются ли прямые параллельными.

Решение:
1. Третий признак параллельности прямых утверждает, что разность между коэффициентами при \(x\) и при \(y\) одной прямой пропорциональна разности коэффициентов при \(x\) и при \(y\) другой прямой.
2. Для этого приведем уравнения прямых к стандартному виду \(y = mx + c\).
- Для \(m_1: y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}\)
- Для \(m_2: y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}\)
3. Сравнивая коэффициенты перед \(x\) и перед \(y\) обеих прямых, можно заметить, что они равны.
4. Следовательно, прямые \(m_1\) и \(m_2\) параллельны, так как их коэффициенты пропорциональны.

Надеюсь, это понятно и поможет вам разобраться в данных задачах!