Решите следующие уравнения: 1. -2х2+5х+3=0 2. х2-22х-23=0 3. х2-2х+5=0 4. х2+6х+8=0 5. х2-34х+289=0 6. 5х2-8х+3=0

Диана

13

Решение уравнений:

1. -2х² + 5х + 3 = 0:
Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта. Для начала, найдем дискриминант по формуле:
\[D = b² - 4ac\]
В данном случае, a = -2, b = 5, c = 3. Подставляем значения:
\[D = 5² - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49\]
Так как дискриминант D > 0, у нас есть два корня. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставим значения и найдем корни:
\[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2(-2)} = \frac{-5 + 7}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\]
\[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2(-2)} = \frac{-5 - 7}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3\]
Таким образом, корни уравнения -2х² + 5х + 3 = 0 равны x₁ = -1/2 и x₂ = 3.

2. х² - 22х - 23 = 0:
Мы также можем решить этот квадратный трехчлен, используя формулу дискриминанта и формулу для нахождения корней:
Дискриминант: D = (-22)² - 4(1)(-23) = 484 + 92 = 576
Поскольку D > 0, у уравнения есть два корня:
x₁ = (-(-22) + √576)/(2(1)) = (22 + 24)/2 = 46/2 = 23
x₂ = (-(-22) - √576)/(2(1)) = (22 - 24)/2 = -2/2 = -1
Получаем, что корни уравнения х² - 22х - 23 = 0 равны x₁ = 23 и x₂ = -1.

3. х² - 2х + 5 = 0:
По формуле дискриминанта находим D = (-2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Так как D < 0, действительных корней нет. Решение уравнения х² - 2х + 5 = 0 не имеет корней.

4. х² + 6х + 8 = 0:
Найдем дискриминант: D = 6² - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4
Так как D > 0, у нас есть два корня:
x₁ = (-6 + √4)/(2(1)) = (-6 + 2)/2 = -4/2 = -2
x₂ = (-6 - √4)/(2(1)) = (-6 - 2)/2 = -8/2 = -4
Корни уравнения х² + 6х + 8 = 0 равны x₁ = -2 и x₂ = -4.

5. х² - 34х + 289 = 0:
Вычисляем дискриминант: D = (-34)² - 4(1)(289) = 1156 - 1156 = 0
Так как D = 0, у нас есть один корень:
x = (-(-34))/(2(1)) = 34/2 = 17
Единственный корень уравнения х² - 34х + 289 = 0 равен x = 17.

6. 5х² - 8х + 3 = 0:
Для этого уравнения находим дискриминант: D = (-8)² - 4(5)(3) = 64 - 60 = 4
Так как D > 0, у нас есть два корня:
x₁ = (-(-8) + √4)/(2(5)) = (8 + 2)/10 = 10/10 = 1
x₂ = (-(-8) - √4)/(2(5)) = (8 - 2)/10 = 6/10 = 3/5
Ответ: корни уравнения 5х² - 8х + 3 = 0 равны x₁ = 1 и x₂ = 3/5.

7. 3х² - 8х + 5 = 0:
Вычисляем дискриминант: D = (-8)² - 4(3)(5) = 64 - 60 = 4
Так как D > 0, у нас есть два корня:
x₁ = (-(-8) + √4)/(2(3)) = (8 + 2)/6 = 10/6 = 5/3
x₂ = (-(-8) - √4)/(2(3)) = (8 - 2)/6 = 6/6 = 1
Корни уравнения 3х² - 8х + 5 = 0 равны x₁ = 5/3 и x₂ = 1.

8. 5х² + 26х - 24 = 0:
Находим дискриминант: D = 26² - 4(5)(-24) = 676 + 480 = 1156
Значение D > 0, поэтому у уравнения два корня:
x₁ = (-26 + √1156)/(2(5)) = (-26 + 34)/10 = 8/10 = 4/5
x₂ = (-26 - √1156)/(2(5)) = (-26 - 34)/10 = -60/10 = -6
Корни уравнения 5х² + 26х - 24 = 0 равны x₁ = 4/5 и x₂ = -6.

9. х² = 4х + 96:
Переносим все члены в одну сторону:
х² - 4х - 96 = 0
Данный квадратный трехчлен мы уже решали в предыдущих задачах. Решение данного уравнения: корни x₁ = 12 и x₂ = -8.

10. 25 = 26х - х²:
Переносим все члены в одну сторону:
х² - 26х + 25 = 0
Это квадратное уравнение представляет собой квадрат с разностью двух слагаемых. Разложим его:
(х - 5)² = 0
Корень квадрата исчезает:
х - 5 = 0
Чтобы найти значение x, прибавляем 5 к обоим сторонам:
х = 5
Ответ: x = 5.

11. х² - 5х + 3 = 0:
По формуле дискриминанта, D = (-5)² - 4(1)(3) = 25 - 12 = 13
Так как D > 0, у уравнения есть два корня:
x₁ = (-(-5) + √13)/(2(1)) = (5 + √13)/2
x₂ = (-(-5) - √13)/(2(1)) = (5 - √13)/2
Получаем корни уравнения х² - 5х + 3 = 0: x₁ = (5 + √13)/2 и x₂ = (5 - √13)/2

12. х² + 6х + 3 = 0:
Дискриминант данного уравнения: D = (6)² - 4(1)(3) = 36 - 12 = 24
Поскольку D > 0, у уравнения есть два корня:
x₁ = (-6 + √24)/(2(1)) = (-6 + 2√6)/2 = -3 + √6
x₂ = (-6 - √24)/(2(1)) = (-6 - 2√6)/2 = -3 - √6
Корни уравнения х² + 6х + 3 = 0 равны x₁ = -3 + √6 и x₂ = -3 - √6

13. х² - 12х = 0:
Факторизуем выражение: х(х - 12) = 0
Так как произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю:
х = 0 или х - 12 = 0
Ответ: x = 0, x = 12

14. –х² + 7х = 0:
Здесь мы можем вынести коммон фактор, который является х: х(-х + 7) = 0
Теперь мы имеем два множителя, поэтому мы получаем два случая:
х = 0 или -х + 7 = 0
Во втором случае, добавляя x к обоим сторонам, получаем:
7 = х
Ответ: х = 0 и х = 7

15. х² - 49 = 0:
Разность двух квадратов: (х - 7)(х + 7) = 0
Так как произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю:
х - 7 = 0 или х + 7 = 0
Ответ: x = 7 и x = -7

16. -5х² + 9 = 0:
Для начала, добавим 5х² к обоим сторонам уравнения:
5х² = 9
Затем, разделим обе стороны на 5:
х² = 9/5
Чтобы найти значение x, возьмем квадратный корень из обеих сторон:
х = ±√(9/5)
Ответ: x = ±√(9/5)

17. 81х² = 0:
Разделим обе стороны уравнений на 81:
х² = 0
Чтобы найти значение x, возьмем квадратный корень из обеих сторон:
х = ±0
Ответ: x = 0

18. 3х² - 75 = 0:
Избавимся от -75 путем сложения его к обеим сторонам:
3х² = 75
Теперь, разделим обе стороны на 3 для нахождения значения х:
х² = 75/3 = 25
Чтобы найти значение x, возьмем квадратный корень из обеих сторон:
х = ±√25
Получаем корни уравнения 3х² - 75 = 0: x = ±5

19. 8х(1 + 2х) = -1:
Раскроем скобки по закону дистрибутивности:
8х + 16х² = -1
Переведем все члены в одну сторону:
16х² + 8х + 1 = 0
Дискриминант данного уравнения: D = (8)² - 4(16)(1) = 64 - 64 = 0
Так как D = 0, у уравнения есть один корень:
х = (-8)/(2(16)) = -1/32
Ответ: x = -1/32.

20. 5(х + 2)² = -6х - 44:
Раскроем скобки с помощью формулы квадрата суммы:
5(х² + 4х + 4) = -6х - 44
Распределение с помощью дистрибутивного закона:
5х² + 20х + 20 = -6х - 44
Перенесем все члены в одну сторону:
5х² + 26х + 64 = 0
Вычисляем дискриминант: D = (26)² - 4(5)(64) = 676 - 1280 = -604
Поскольку D < 0, действительных корней нет. Решение уравнения 5(х + 2)² = -6х - 44 не имеет действительных корней.

Таким образом, мы решили все 20 уравнений, представленных в задаче, и объяснили каждое решение по шагам. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их.