Решите следующие уравнения: а) Какое значение переменной х удовлетворяет уравнению 4 в степени х равно 1/16? б) Какое

Карамель_4873

37

а) Чтобы решить уравнение \(4^x = \frac{1}{16}\), нам нужно найти значение \(x\), при котором степень числа 4 равна \(\frac{1}{16}\).

Сначала заметим, что \(\frac{1}{16}\) можно представить как \(\frac{1}{2^4}\), так как \(16 = 2^4\).

Теперь мы можем записать уравнение следующим образом:

\(4^x = \frac{1}{2^4}\).

Далее, используем свойство степени, которое гласит:

\(a^{\log_a(b)} = b\), где \(\log_a(b)\) обозначает логарифм числа \(b\) по основанию \(a\).

Применим это свойство к нашему уравнению и получим:

\(x = \log_4\left(\frac{1}{2^4}\right)\).

Теперь вычислим этот логарифм с помощью свойств логарифмов:

\(x = \log_4\left(\frac{1}{16}\right) = \log_4\left(4^{-1}\right) = -1\).

Таким образом, решение уравнения \(4^x = \frac{1}{16}\) равно \(x = -1\).

б) Уравнение \(7^x = \frac{1}{343}\) может быть переписано в виде \(7^x = \frac{1}{7^3}\), так как \(343 = 7^3\).

Применяем свойство степени и получаем:

\(x = \log_7\left(\frac{1}{343}\right) = \log_7\left(7^{-3}\right) = -3\).

Таким образом, решение уравнения \(7^x = \frac{1}{343}\) равно \(x = -3\).

в) Уравнение \(\left(\frac{1}{6}\right)^x = 36\) может быть переписано в виде \(\left(\frac{1}{6}\right)^x = \frac{1}{36}\), так как \(\frac{1}{36} = \left(\frac{1}{6}\right)^2\).

Применяем свойство степени и получаем:

\(x = \log_{\frac{1}{6}}\left(\frac{1}{36}\right) = \log_{\frac{1}{6}}\left(\left(\frac{1}{6}\right)^2\right) = 2\).

Таким образом, решение уравнения \(\left(\frac{1}{6}\right)^x = 36\) равно \(x = 2\).

г) Уравнение \(0.2^x = 0.00032\) не может быть представлено в виде степени того же числа, но мы все равно можем найти его решение с помощью логарифма.

\(x = \log_{0.2}(0.00032)\).

Теперь найдем значение этого логарифма.

\[x = \log_{0.2}(0.00032) \approx 4.6232.\]

Таким образом, решение уравнения \(0.2^x = 0.00032\) равно \(x \approx 4.6232\).