Що є найменшим можливим значенням виразу 1/х + 1/у, якщо числа х та у додатні та х+у

Volk

48

Для того чтобы найти наименьшее возможное значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\), где \(x\) и \(y\) являются положительными числами, при условии \(x+y = k\), где \(k\) тоже является положительным числом, мы можем использовать метод математического анализа.

Давайте рассмотрим данное выражение:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y}
\]

Для начала, заметим, что если \(x = y\), то сумма \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) достигает своего минимального значения. Давайте это проверим. Подставим \(y = x\) в данное выражение:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}
\]

Теперь нам нужно понять, при каком значении переменной \(x\) дробь \(\frac{2}{x}\) достигнет своего минимального значения. Чтобы узнать это, мы можем использовать производные.

Возьмем производную выражения \(\frac{2}{x}\):

\[
\frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x}\right) = -\frac{2}{x^2}
\]

Чтобы найти минимум, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
-\frac{2}{x^2} = 0
\]

Умножим обе стороны уравнения на \(x^2\):

\[
-2 = 0
\]

Мы видим, что данное уравнение не имеет решений. Значит, наше изначальное предположение, что минимум достигается при \(x = y\), не верно.

Теперь рассмотрим другой подход. Для этого воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним гармоническим, которое можно записать следующим образом:

\[
\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} \geq \frac{2}{x+y}
\]

Мы знаем, что \(x + y = k\), так что давайте подставим это значение:

\[
\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} \geq \frac{2}{k}
\]

Умножим обе стороны неравенства на 2:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{k}
\]

Теперь для достижения минимального значения выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) мы должны максимизировать значение \(k\). Заметим, что по условию \(k\) является положительным числом.

Таким образом, наименьшее возможное значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) достигается тогда, когда \(k\) принимает самое большое возможное значение в заданных условиях. А это происходит, когда \(x\) и \(y\) стремятся к бесконечности.

Таким образом, ответ на задачу будет бесконечность: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \rightarrow \infty\), при \(x,y \rightarrow \infty\), где \(x\) и \(y\) являются положительными числами, а их сумма \(x+y\) равна положительному числу \(k\).