Скільки близько пострілів потрібно було зробити під час тренування, якщо біатлоністка зробила 4 промахи, з урахуванням
Скільки близько пострілів потрібно було зробити під час тренування, якщо біатлоністка зробила 4 промахи, з урахуванням того, що вона попадає в мішень з ймовірністю, яка перевищує 0.7, але менше 0.72?
Belenkaya 58
Для решения данной задачи, нам необходимо учесть, что вероятность попадания в мишень равна \(0.7 < P < 0.72\). Пусть \(n\) - количество выстрелов, которые биатлонистка сделала во время тренировки.Мы знаем, что вероятность промаха составляет \(1 - P\). Тогда вероятность того, что биатлонистка сделает промах \(k\) раз из \(n\) выстрелов, можно рассчитать с помощью биномиального распределения.
Формула биномиального распределения:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot P^k \cdot (1 - P)^{n-k}\]
Где:
\(P(X = k)\) - вероятность события, когда биатлонистка сделает \(k\) промахов,
\(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\),
\(P^k\) - вероятность события "попадание" в степени \(k\),
\((1 - P)^{n-k}\) - вероятность события "промах" в степени \(n-k\).
В данном случае нам известно, что биатлонистка сделала 4 промаха. Значит, нам нужно найти такое минимальное значение \(n\), при котором вероятность события \(P(X = 4)\) будет больше 0.
Подставив все известные значения в формулу, получим:
\[0 < C_n^4 \cdot P^4 \cdot (1 - P)^{n-4}\]
Также из условия задачи известно, что \(0.7 < P < 0.72\).
Для удобства, приведем данное неравенство к более удобному виду, учитывая, что \(P > 0\) и \((1 - P)^{n-4} > 0\):
\[0.7 < P < 0.72 \Rightarrow 0.7^4 < P^4 < 0.72^4\]
Теперь можем выразить вероятность события \(P(X = 4)\):
\[0 < C_n^4 \cdot P^4 \cdot (1 - P)^{n-4} < C_n^4 \cdot 0.72^4\]
Для подбора наименьшего значения \(n\), которое удовлетворяет данному неравенству, можно начать с \(n = 4\) и увеличивать его постепенно, пока выполняются условия неравенства.
Например, подставим \(n = 4\) в неравенство:
\[0 < C_4^4 \cdot P^4 \cdot (1 - P)^{4-4} < C_4^4 \cdot 0.72^4\]
\[0 < P^4 < 0.72^4\]
Таким образом, значение \(n = 4\) удовлетворяет данному неравенству, так как выполняются все условия.
Следовательно, чтобы биатлонистка сделала 4 промаха при вероятности попадания в мишень от 0.7 до 0.72, ей достаточно сделать 4 выстрела на тренировке.