Скількими способами можна вибрати двох делегатів на шкільну конференцію з класу, в якому навчається 20 учнів?

Zmeya

38

Для решения задачи, мы должны использовать комбинаторику и формулу сочетаний.

Формула сочетаний используется в задачах выбора неупорядоченной группы элементов из заданного множества. В данном случае нам нужно выбрать 2 делегатов из класса, состоящего из 20 учеников.

Формула сочетаний имеет вид:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]
где:
- \(n\) - общее количество элементов (учеников в данном случае),
- \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем (делегатов в данном случае),
- \(n!\) - факториал числа \(n\).

Применяя формулу сочетаний к нашей задаче, получаем:
\[C(20, 2) = \frac{{20!}}{{2! \cdot (20-2)!}}\]

Теперь давайте вычислим эту формулу шаг за шагом.

1. Вычислим \(20!\). Факториал 20 (обозначается как \(20!\)) равен произведению всех целых чисел от 1 до 20:
\[20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

2. Вычислим \(2!\). Факториал 2 (обозначается как \(2!\)) равен произведению всех целых чисел от 1 до 2:
\[2! = 2 \cdot 1\]

3. Вычислим \((20-2)!\). Факториал 18 (обозначается как \(18!\)) равен произведению всех целых чисел от 1 до 18:
\[18! = 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

4. Подставим значения в формулу сочетаний:
\[C(20, 2) = \frac{{20!}}{{2! \cdot (20-2)!}} = \frac{{20!}}{{2! \cdot 18!}}\]

5. Упростим выражение:
\[C(20, 2) = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18!}}{{2 \cdot 1 \cdot 18!}}\]

6. Упростим дробь, сокращая общие члены:
\[C(20, 2) = \frac{{20 \cdot 19}}{{2 \cdot 1}}\]

7. Вычисляем значение:
\[C(20, 2) = 190\]

Таким образом, можно выбрать 190 способов выбрать двух делегатов на школьную конференцию из класса, состоящего из 20 учеников.