Сколько билетов, содержащих по 3 вопроса, можно составить для оценки знаний студентов по 20 вопросам программы?

Мистическая_Феникс

29

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать комбинаторику. Запишем условие задачи: необходимо составить билеты, каждый из которых содержит по 3 вопроса, для оценки знаний студентов по 20 вопросам программы.

Для начала рассмотрим, сколько способов можно выбрать 3 вопроса из общего числа вопросов (20). Это можно сделать с помощью формулы сочетаний:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество элементов, в данном случае вопросов, \(k\) - количество элементов, которое нужно выбрать, в данном случае 3.

Применяя данную формулу, получаем:

\(\binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!}\).

Итак, количество способов выбрать 3 вопроса из 20 равно \(\frac{20!}{3!17!}\).

Теперь рассмотрим, сколько способов можно составить билеты из выбранных вопросов. Поскольку на каждом билете должно быть по 3 вопроса, мы должны разделить общее число выбранных вопросов на 3:

\(\frac{\binom{20}{3}}{3}\).

Таким образом, количество билетов, содержащих по 3 вопроса, можно получить путем деления \(\binom{20}{3}\) на 3.

Выполним вычисления:

\(\frac{\binom{20}{3}}{3} = \frac{\frac{20!}{3!17!}}{3} = \frac{20!}{3!17!} \cdot \frac{1}{3} = \frac{20!}{3! \cdot 3 \cdot 17!} = \frac{20!}{3!17!3}\).

Упростим выражение:

\(\frac{20!}{3!17!3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{3!17!3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3!3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6 \cdot 3} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 10 \cdot 19 = 190\).

Таким образом, можно составить 190 билетов, содержащих по 3 вопроса, для оценки знаний студентов по 20 вопросам программы.