Сколько четверок точек, которые являются вершинами трапеции, можно выбрать из пронумерованных 26 точек, разделяющих

Diana

61

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, какие условия должны выполняться для выбора четырех точек, образующих вершины трапеции.

Обратимся к основным свойствам трапеции. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны. В нашем случае, параллельными будут являться два отрезка, соединяющих вершины трапеции на окружности.

Для начала, давайте выберем две из 26 точек, которые представляют одну из параллельных сторон. Это можно сделать \(\binom{26}{2}\) способами, где \(\binom{n}{k}\) обозначает количество способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов.

Теперь, когда у нас есть выбранные две точки, рассмотрим возможные положения для двух других вершин трапеции.

Первая вершина должна быть такой, чтобы соединяющий отрезок, который идет от одной из баз стороны до этой вершины, не пересекался с окружностью в другой выбранной нами точке.

Используя свойство пересекающихся хорд окружности, мы можем утверждать, что таких возможных положений для первой вершины будет столько же, сколько дуг на окружности между двумя выбранными нами точками.

В нашем случае, у нас есть 26 равных дуг. Таким образом, для выбора первой вершины у нас есть 26 вариантов.

После того, как мы выбрали первую вершину, рассмотрим возможные положения для второй вершины. Вторая вершина должна находиться на такой же дуге, как и первая вершина, и она также не должна пересекать отрезок, соединяющий две выбранные нами точки.

Мы уже знаем, что у нас есть 26 дуг на окружности, и первая вершина была выбрана на одной из этих дуг. Таким образом, для выбора второй вершины, у нас также есть 26 вариантов.

Суммируя все возможные варианты выбора двух точек, образующих параллельные стороны трапеции, и при условии, что выбор положения двух оставшихся вершин зависит от выбранных ранее двух точек, получаем:

Количество четверок точек, которые являются вершинами трапеции, из 26 пронумерованных точек на окружности равно:

\[\binom{26}{2} \times 26 \times 26 = 325 \times 26 \times 26\]

Таким образом, ответ составляет \(325 \times 26 \times 26\). Дальнейшие вычисления дадут окончательный результат.