Сколько чисел в третьей группе, если сумма ста натуральных чисел равна 5000 и числа разделены на три группы, так

Сквозь_Огонь_И_Воду

27

Для решения этой задачи нам необходимо использовать некоторые свойства среднего арифметического. Давайте разберем пошаговое решение.

Пусть первая группа состоит из \(x\) чисел. Мы знаем, что среднее арифметическое для первой группы равно 21. То есть, мы можем записать уравнение:

\[
\frac{{\text{{сумма чисел первой группы}}}}{x} = 21
\]

Так как сумма чисел первой группы неизвестна, давайте обозначим ее как \(S_1\). Теперь у нас есть уравнение:

\[
\frac{{S_1}}{x} = 21
\]

Умножим обе части уравнения на \(x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
S_1 = 21x
\]

Аналогично, для второй группы у нас будет уравнение:

\[
\frac{{S_2}}{y} = 50
\]

где \(y\) - количество чисел во второй группе, а \(S_2\) - сумма чисел во второй группе.

Теперь давайте рассмотрим третью группу. У нас есть информация о ее среднем арифметическом, и она состоит из \(z\) чисел. Среднее арифметическое равно целому числу. Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[
\frac{{S_3}}{z} = \text{{целое число}}
\]

где \(S_3\) - сумма чисел третьей группы.

Исходя из условия задачи, мы знаем, что сумма всех 100 чисел равна 5000:

\[
S_1 + S_2 + S_3 = 5000
\]

Заменим \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\) с использованием предыдущих уравнений:

\[
21x + 50y + S_3 = 5000
\]

Теперь нам необходимо решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
21x = S_1 \\
50y = S_2 \\
21x + 50y + S_3 = 5000 \\
\end{cases}
\]

Мы также знаем, что в каждой группе количество чисел должно быть разным. Поэтому \(x \neq y \neq z\). Также, суммируя количество чисел в каждой группе, должно получиться 100: \(x + y + z = 100\).

Мы можем попробовать найти решение данной системы уравнений методом подбора:

\[
\begin{align*}
\text{Пусть } x &= 29 \\
\text{Тогда } S_1 &= 21 \cdot 29 = 609 \\
\text{Так как } 50y &> 5000 - 609 \\
\text{Исключим } x &= 29 \text{ как вариант, так как количество чисел во второй группе будет слишком большим.} \\
\text{Попробуем другие значения:} \\
x &= 28, y = 30 \\
S_1 &= 21 \cdot 28 = 588 \\
S_2 &= 50 \cdot 30 = 1500 \\
S_3 &= 5000 - 588 - 1500 = 2912 \\
\end{align*}
\]

Итак, при \(x = 28\), \(y = 30\) и \(z = 42\) получается такое разделение чисел по группам.