Сколько членов есть в геометрической прогрессии с начальным членом b1 = -8, знаменателем q = 3 и суммой всех членов

Лиса

54

Для решения этой задачи нам понадобится формула для суммы членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}\]

где \(S_n\) - сумма членов геометрической прогрессии, \(b_1\) - начальный член, \(q\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - количество членов.

Мы знаем значение суммы всех членов (\(S_n = -2912\)), начальный член (\(b_1 = -8\)) и знаменатель (\(q = 3\)). Наша задача - найти количество членов (\(n\)) в прогрессии.

Для начала, подставим известные значения в формулу:

\[-2912 = \frac{{-8 \cdot (1 - 3^n)}}{{1 - 3}}\]

Упростим выражение:

\[-2912 = \frac{{-8 \cdot (1 - 3^n)}}{{-2}}\]

Теперь избавимся от отрицательного знака:

\[2912 = 4 \cdot (1 - 3^n)\]

Разделим обе части уравнения на 4:

\[728 = 1 - 3^n\]

Теперь избавимся от -1 на левой стороне:

\[729 = 3^n\]

Так как мы хотим найти количество членов (\(n\)), возведем обе части уравнения в логарифмическую форму:

\[\log_3(729) = \log_3(3^n)\]

Применим свойства логарифмов:

\[6 = n\]

Таким образом, в геометрической прогрессии с начальным членом \(b_1 = -8\), знаменателем \(q = 3\) и суммой всех членов \(S_n = -2912\) количество членов равно 6.