Сколько членов в геометрической прогрессии, если сумма первых n членов равна 170, первый член равен 256, а знаменатель

Pylayuschiy_Drakon

27

Данная задача связана с геометрической прогрессией, которая представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на некоторую постоянную величину, называемую знаменатель геометрической прогрессии.

Для решения задачи мы будем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\]

Где:
- \(S_n\) - сумма первых n членов
- \(a\) - первый член геометрической прогрессии
- \(r\) - знаменатель геометрической прогрессии
- \(n\) - количество членов геометрической прогрессии

В нашей задаче нам дано, что сумма первых n членов равна 170, первый член равен 256 и знаменатель равен -1/2. Нам нужно найти количество членов в геометрической прогрессии.

Подставим данные в формулу:

\[170 = 256 \cdot \frac{{1 - (-1/2)^n}}{{1 - (-1/2)}}\]

Упростим:

\[\frac{{1 - (-1/2)^n}}{{1 - (-1/2)}} = \frac{{1 - (-1/2)^n}}{3/2} = \frac{{2(1 - (-1/2)^n)}}{3}\]

Умножим обе части уравнения на 3:

\[2(1 - (-1/2)^n) = 3 \cdot 170\]

Раскроем скобки:

\[2 - 2 \cdot (-1/2)^n = 510\]

Перенесём термы:

\[-2 \cdot (-1/2)^n = 510 - 2\]

Упростим:

\[-(-1/2)^n = 508/2 = 254\]

Избавимся от отрицательного знака, возвратив обе части уравнения в исходную степень:

\[(-1/2)^n = 254^{-1}\]

Возведя обе части уравнения в степень -1:

\[(1/2)^n = 1/254\]

Выразим обе части уравнения через их десятичные представления:

\[(0.5)^n = 0.003937....\]

Чтобы найти значение n, возведем обе части в логарифмическую степень:

\[\log_{0.5}((0.5)^n) = \log_{0.5}(0.003937....)\]

Обратите внимание, что мы использовали базу логарифма 0.5, так как это значение знаменателя геометрической прогрессии.

n =log(0.003937) / log(0.5)~= 7.96 ....

Таким образом, количество членов в геометрической прогрессии, при данных условиях, будет близким к 8 (с округлением).

Ответ: В данной геометрической прогрессии будет 8 членов.