Сколько дат в 2019 году, при которых сумма первых пяти цифр равна сумме последних трех цифр? (Пример: 07 июля 2019

Владимировна_3470

30

Чтобы решить задачу, давайте разложим числа в дате на отдельные цифры и рассмотрим два случая: когда сумма первых пяти цифр больше, чем сумма последних трех, и когда сумма первых пяти цифр меньше, чем сумма последних трех.

Первый случай: сумма первых пяти цифр больше суммы последних трех. Количество возможных дат будет зависеть от значений цифр, которые мы можем использовать. Первые пять цифр могут принимать значения от 0 до 3, так как максимальная сумма первых пяти цифр, которую мы можем получить, равна \(3+9+9+9+9 = 39\). Сумма последних трех цифр должна быть меньше или равна 27, так как максимальная сумма последних трех цифр равна \(9+9+9 = 27\). Таким образом, для каждой комбинации суммы первых пяти цифр от 0 до 39, мы должны проверить, сколько комбинаций суммы последних трех цифр меньше или равны 27.

Интересно заметить, что количество комбинаций суммы первых пяти цифр для каждого значения равно:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Сумма первых пяти цифр} & \text{Количество комбинаций} \\
\hline
0 & 1 \\
\hline
1 & 5 \\
\hline
2 & 10 \\
\hline
3 & 15 \\
\hline
4 & 20 \\
\hline
5 & 25 \\
\hline
6 & 30 \\
\hline
7 & 35 \\
\hline
8 & 40 \\
\hline
9 & 45 \\
\hline
10 & 50 \\
\hline
11 & 55 \\
\hline
12 & 60 \\
\hline
13 & 65 \\
\hline
14 & 70 \\
\hline
15 & 75 \\
\hline
16 & 80 \\
\hline
17 & 85 \\
\hline
18 & 90 \\
\hline
19 & 95 \\
\hline
20 & 100 \\
\hline
21 & 105 \\
\hline
22 & 110 \\
\hline
23 & 115 \\
\hline
24 & 120 \\
\hline
25 & 125 \\
\hline
26 & 125 \\
\hline
27 & 125 \\
\hline
28 & 120 \\
\hline
29 & 115 \\
\hline
30 & 110 \\
\hline
31 & 105 \\
\hline
32 & 100 \\
\hline
33 & 95 \\
\hline
34 & 90 \\
\hline
35 & 85 \\
\hline
36 & 80 \\
\hline
37 & 75 \\
\hline
38 & 70 \\
\hline
39 & 65 \\
\hline
\end{array}
\]

Полученные значения являются арифметической прогрессией с разностью 5. Теперь, чтобы получить общее количество комбинаций для каждой суммы первых пяти цифр, мы можем использовать формулу суммирования арифметической прогрессии:

\[
\text{Общее количество комбинаций} = \frac{{\text{Количество комбинаций первого значения} + \text{Количество комбинаций последнего значения}}}{2} \times (\text{Количество значений})
\]

Таким образом, для нашего случая, мы должны просуммировать комбинации для сумм первых пяти цифр от 0 до 39:

\[
\text{Общее количество комбинаций} = \frac{{1 + 65}}{2} \times 40 = 33 \times 40 = 1320
\]

Теперь перейдем ко второму случаю: когда сумма первых пяти цифр меньше суммы последних трех. В этом случае, первые пять цифр могут принимать значения от 0 до 26, так как максимальная сумма первых пяти цифр, которую можно получить, равна \(2+9+9+9+9 = 38\). Сумма последних трех цифр может принимать значения от 27 до 27, так как сумма первых пяти цифр будет меньше.

Мы также обнаруживаем, что для каждого значения суммы первых пяти цифр, количество комбинаций равно:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Сумма первых пяти цифр} & \text{Количество комбинаций} \\
\hline
0 & 1 \\
\hline
1 & 6 \\
\hline
2 & 11 \\
\hline
3 & 16 \\
\hline
4 & 21 \\
\hline
5 & 26 \\
\hline
6 & 31 \\
\hline
7 & 36 \\
\hline
8 & 41 \\
\hline
9 & 46 \\
\hline
10 & 51 \\
\hline
11 & 56 \\
\hline
12 & 61 \\
\hline
13 & 66 \\
\hline
14 & 71 \\
\hline
15 & 76 \\
\hline
16 & 81 \\
\hline
17 & 86 \\
\hline
18 & 91 \\
\hline
19 & 96 \\
\hline
20 & 101 \\
\hline
21 & 106 \\
\hline
22 & 111 \\
\hline
23 & 116 \\
\hline
24 & 121 \\
\hline
25 & 126 \\
\hline
26 & 131 \\
\hline
\end{array}
\]

Из этих значений мы также можем видеть арифметическую прогрессию с разностью 5. Теперь мы можем применить формулу суммирования арифметической прогрессии:

\[
\text{Общее количество комбинаций} = \frac{{\text{Количество комбинаций первого значения} + \text{Количество комбинаций последнего значения}}}{2} \times (\text{Количество значений})
\]

Подставив значения, мы можем найти общее количество комбинаций для каждой суммы первых пяти цифр от 0 до 26:

\[
\text{Общее количество комбинаций} = \frac{{1 + 131}}{2} \times 27 = 66 \times 27 = 1782
\]

Теперь мы можем найти общее количество дат, удовлетворяющих условию задачи, сложив общие количество комбинаций для обоих случаев:

\[
\text{Общее количество дат} = \text{Общее количество комбинаций при первом случае} + \text{Общее количество комбинаций при втором случае} = 1320 + 1782 = 3102
\]

Итак, в 2019 году найдено 3102 даты, при которых сумма первых пяти цифр равна сумме последних трех цифр.