1) Перемножение и деление дробей с рациональными числами. Возведение дроби с рациональным числом в степень. Выполните

Ярослав

4

Хорошо, давайте рассмотрим каждое перемножение поочередно:

1) \( \frac{6y}{x} \cdot \frac{x}{24y} \)

В данном случае у нас есть дробь, у которой числитель равен \(6y\), а знаменатель равен \(x\). Мы должны умножить эту дробь на другую дробь, у которой числитель равен \(x\), а знаменатель равен \(24y\).

Для перемножения дробей, мы умножаем числители и знаменатели отдельно. То есть:

\( \frac{6y \cdot x}{x \cdot 24y} \)

Здесь мы видим, что \(x\) в числителе и знаменателе "сокращаются" и остаются только \(6y\) и \(24y\). Теперь мы можем сократить \(6\) и \(24\) по общему делителю, который равен \(6\):

\( \frac{6y \cdot 1}{1 \cdot 4y} \)

\( \frac{6y}{4y} \)

\( \frac{3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{y}}{\cancel{2} \cdot \cancel{y}} \)

И, в итоге, мы получаем ответ: \( \frac{3}{1} \) или просто \(3\).

2) \( \frac{x^4y}{28a} \cdot \left( -\frac{7a}{x^3y^6} \right) \)

Здесь у нас есть дробь, у которой числитель равен \(x^4y\), а знаменатель равен \(28a\). Мы должны умножить эту дробь на другую дробь, у которой числитель равен \(-7a\), а знаменатель равен \(x^3y^6\).

Так как у нас есть отрицательное число \(-7a\) в числителе, нам следует помнить о правиле умножения чисел со знаком. Но давайте сначала выполнять перемножение числителей и знаменателей отдельно:

\( \frac{x^4y \cdot (-7a)}{28a \cdot x^3y^6} \)

Для упрощения данного выражения, воспользуемся свойством степени, которое гласит, что \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\). Используя это свойство, мы можем объединить степени \(x^4\) и \(x^3\):

\( \frac{x^{4+3}y \cdot (-7a)}{28a \cdot y^6} \)

\( \frac{x^7y \cdot (-7a)}{28a \cdot y^6} \)

Затем, мы видим, что \(a\) в числителе и знаменателе "сокращаются", а также \(y\) в числителе и знаменателе "сокращаются". Также помним, что \((-1) \cdot (-7) = 7\).

\( \frac{x^7 \cdot 7}{28 \cdot y^{6-1}} \)

\( \frac{7x^7}{28y^5} \)

\( \frac{7 \cdot x^7}{4 \cdot 7 \cdot y^5} \)

И, в итоге, мы получаем ответ: \( \frac{x^7}{4y^5} \).

3) \( \frac{11n^4}{12p^6} \cdot 24p^8 \)

Здесь у нас есть дробь, у которой числитель равен \(11n^4\), а знаменатель равен \(12p^6\). Мы должны умножить эту дробь на число \(24p^8\).

Давайте умножим числитель и знаменатель отдельно:

\( \frac{11n^4 \cdot 24p^8}{12p^6} \)

Для упрощения данного выражения, мы замечаем, что \(12\) и \(24\) можно сократить по общему делителю, который равен \(12\):

\( \frac{11n^4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot p^8}{2 \cdot 2 \cdot p^6} \)

\( \frac{11 \cdot \cancel{n^4} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{p^6}} \)

\( \frac{11p^8}{p^6} \)

Теперь мы знаем, что \(p^8\) делится на \(p^6\):

\( \frac{11p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2}{1} \)

\( 11p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \cdot p^2 \)

И, в итоге, мы получаем ответ: \( 11p^8 \).

4) \( \frac{5a^5b^2}{28mn^2} \cdot \frac{8am^4}{15bn^3} \cdot \frac{21b^3n^6}{32a^6m^3} \)

Здесь у нас есть произведение трех дробей. Давайте умножим числители и знаменатели отдельно:

\( \frac{5a^5b^2 \cdot 8am^4 \cdot 21b^3n^6}{28mn^2 \cdot 15bn^3 \cdot 32a^6m^3} \)

Мы видим, что некоторые переменные и числа можно сократить. Для простоты вычислений, объединим все числители в одно выражение и знаменатели в другое выражение:

\( \frac{5 \cdot 8 \cdot 21 \cdot a^5 \cdot a \cdot m^4 \cdot b^2 \cdot b^3 \cdot n^6}{28 \cdot 15 \cdot 32 \cdot m \cdot n^2 \cdot b \cdot n^3 \cdot a^6 \cdot m^3} \)

Сократим числа \(5\), \(8\), и \(21\) по общему делителю, который равен \(1\):

\( \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot a^5 \cdot a \cdot m^4 \cdot b^2 \cdot b^3 \cdot n^6}{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot m \cdot n^2 \cdot b \cdot n^3 \cdot a^6 \cdot m^3} \)

Мы замечаем, что \(a\) в числителе и знаменателе "сокращаются", а также \(b\) в числителе и знаменателе "сокращаются", и \(m\) в числителе и знаменателе "сокращаются".

\( \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cancel{a^5} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{m^4} \cdot 1 \cdot \cancel{b^2} \cdot \cancel{b^3} \cdot \cancel{n^6}}{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cancel{m} \cdot n^2 \cdot \cancel{b} \cdot n^3 \cdot a^6 \cdot \cancel{m^3}} \)

Мы видим, что \(n^6\) в числителе и \(n^2\) в знаменателе "сокращаются", и \(a^5\) в числителе и \(a^6\) в знаменателе тоже "сокращаются".

\( \frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot n^3 \cdot a} \)

Подсчитав числитель и знаменатель, получаем:

\( \frac{1}{192 \cdot n^3 \cdot a} \)

Итак, мы получили ответ: \( \frac{1}{192 \cdot n^3 \cdot a} \).