Сколько команд может иметь ровно 12 побед в круговом волейбольном турнире с участием 20 команд?

Кузя

19

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся в том, как проходит такой круговой волейбольный турнир. В таком турнире каждая команда играет одинаковое количество матчей со всеми остальными командами. Поскольку в вашем задании участвует 20 команд, каждая команда должна сыграть матч со всеми остальными 19 командами.

Теперь посчитаем, сколько всего матчей будет проведено в этом турнире. У нас 20 команд, каждая команда сыграет по одному матчу со всеми остальными командами. Учитывая, что команда не может играть с самой собой, общее количество матчей можно рассчитать по формуле:
\[Количество\ матчей = \frac{{Количество\ команд \cdot (Количество\ команд - 1)}}{2}\]

В нашем случае:
\[Количество\ матчей = \frac{{20 \cdot (20 - 1)}}{2} = \frac{{20 \cdot 19}}{2} = 190\]

Таким образом, всего будет проведено 190 матчей в турнире.

Теперь, чтобы найти количество команд, которые имеют ровно 12 побед, нам необходимо рассмотреть, сколько возможностей есть для каждой команды получить 12 побед из 19 матчей, которые они должны сыграть.

Мы можем использовать сочетания для решения этой задачи. Сочетания — это комбинации объектов (в данном случае побед), выбранных из множества (количество матчей), где порядок не важен. В нашем случае, нам нужно выбрать 12 побед из 19 матчей.

Формула для вычисления сочетаний:
\[C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где n - общее количество объектов (19 матчей), k - количество объектов, которые выбираются (12 побед).

Применяя формулу сочетания, мы можем подсчитать количество команд, которые могут иметь 12 побед. Обратите внимание, что каждая команда может иметь только один вариант побед.

\[C_{19}^{12} = \binom{19}{12} = \frac{{19!}}{{12! \cdot (19-12)!}} = \frac{{19!}}{{12! \cdot 7!}}\]

Если вычислить это значение, то получим:

\[C_{19}^{12} = \frac{{19!}}{{12! \cdot 7!}} = 50388\]

Таким образом, ровно 50388 команд могут иметь 12 побед в этом круговом волейбольном турнире.