Сколько корней имеет система уравнений x2 + y2 = 9 и y = 2 - x2? Требуются объяснения. Предоставьте их заранее

Морской_Путник_7325

10

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод эквивалентных преобразований. В данном случае рассмотрим метод эквивалентных преобразований.

Система уравнений:
\[x^2 + y^2 = 9\]
\[y = 2 - x^2\]

Для начала, заменим второе уравнение в системе в выражении y, используя его значение из второго уравнения. Получим:
\[x^2 + (2 - x^2)^2 = 9\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[x^2 + 4 - 4x^2 + x^4 = 9\]

Объединим подобные слагаемые:
\[x^4 - 3x^2 - 5 = 0\]

Теперь у нас уравнение четвертой степени. Мы можем ввести замену, например, введем новую переменную z:
\[z = x^2\]

Подставим это выражение в уравнение:
\[z^2 - 3z - 5 = 0\]

Это уравнение уже можно решить методом факторизации или используя квадратное уравнение. Факторизуем его:
\[(z - 5)(z + 1) = 0\]

Находим значения z:
\[z_1 = 5\]
\[z_2 = -1\]

Теперь заменим обратно переменную z на x^2:
\[x^2 = 5\]
\[x^2 = -1\]

Уравнение \(x^2 = -1\) не имеет действительных корней, так как квадрат никогда не может быть отрицательным. Выходит, что данная система уравнений имеет два корня, соответствующих значениям \(x^2 = 5\).

Чтобы найти точные значения корней, возьмем квадратный корень от обоих уравнений:
\[x = \sqrt{5}\]
\[x = -\sqrt{5}\]

Таким образом, система уравнений имеет два корня: \(x = \sqrt{5}\) и \(x = -\sqrt{5}\). Чтобы найти соответствующие значения y, подставим найденные значения x в любое из исходных уравнений. Например, возьмем первое уравнение:
\[x^2 + y^2 = 9\]
\[(\sqrt{5})^2 + y^2 = 9\]
\[5 + y^2 = 9\]
\[y^2 = 4\]
\[y = \pm 2\]

Таким образом, система уравнений имеет два корня: (x = \sqrt{5}, y = 2) и (x = -\sqrt{5}, y = -2).

В итоге, система уравнений имеет два корня: (x = \sqrt{5}, y = 2) и (x = -\sqrt{5}, y = -2).