Будь ласка, знайдіть сьомий елемент геометричної прогресії з позитивним знаменником, якщо її третій і п ятий елементи

Мишутка

39

Щоб знайти сьомий елемент геометричної прогресії, спочатку нам потрібно знайти знаменник цієї прогресії. Ми вже знаємо, що третій і п"ятий елементи дорівнюють -32.

Давайте запишемо це в рівнянні:

\[a_3 = a_1 \cdot r^{(3-1)} = a_1 \cdot r^2 = -32\]

\[a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)} = a_1 \cdot r^4 = -32\]

Тут \(a_1\) - перший елемент прогресії, \(r\) - знаменник прогресії.

Зараз ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Щоб вирішити цю систему, поділимо друге рівняння на перше:

\[\frac{a_5}{a_3} = \frac{-32}{-32}\]

Отримаємо:

\[\frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^2} = 1\]

Скасуємо \(a_1\):

\[\frac{r^4}{r^2} = 1\]

В результаті отримаємо:

\[r^2 = 1\]

Тепер ми можемо знайти два значення для \(r\): \(r = 1\) або \(r = -1\).

Якщо \(r = 1\), то щоб знайти перший елемент \(a_1\), підставимо значення в одне з рівнянь:

\[a_1 \cdot 1^2 = -32\]

Отже:

\[a_1 = -32\]

Тепер використаємо формулу для знаходження будь-якого n-го елемента геометричної прогресії:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

Підставимо відомі значення:

\[a_7 = -32 \cdot 1^{(7-1)}\]

Отримаємо:

\[a_7 = -32\]

Отже, сьомий елемент геометричної прогресії з позитивним знаменником буде -32.

Інший спосіб розв"язання буде, якщо \(r = -1\). Тоді перший елемент буде таким:

\[a_1 \cdot (-1)^2 = -32\]

\[a_1 = -32\]

І сьомий елемент також буде -32, оскільки вся прогресія буде мати одне значення.