Сколько корней имеет уравнение 2tgx/1+tg²x = 1/3 на интервале [0; 9π/4], при условии графика y=sinx?

Цветочек

54

Хорошо, давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы ответ был максимально понятен.

Дано уравнение: \(\frac{2\tan x}{1+\tan^2x} = \frac{1}{3}\) на интервале [0; 9π/4] и условие графика \(y = \sin x\).

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду.
Для начала, давайте заменим \(\tan x\) на \(\frac{\sin x}{\cos x}\). Получим
\(\frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2} = \frac{1}{3}\).

Шаг 2: Упрощение уравнения.
Для упрощения дроби в числителе умножим и числитель, и знаменатель на \(\cos^2x\):
\(\frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \frac{1}{3}\).

Упростим \(\cos^2 x + \sin^2 x\) до 1, используя тригонометрическое тождество:
\(\frac{2\sin x \cos x}{1} = \frac{1}{3}\).

Шаг 3: Используем связь между уравнениями и графиком.
Зная, что \(\sin x\) определено на интервале [0; 9π/4], а углы синуса равны 1 на углах \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{5\pi}{2}\), \(\frac{9\pi}{2}\) и т.д., мы можем записать:

\(\sin x = 1\) при \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Шаг 4: Подставим полученное значение в уравнение и найдем значения \(x\).
\(\frac{2\sin x \cos x}{1} = \frac{1}{3}\),
\(2\sin x \cos x = \frac{1}{3}\),
решая уравнение, получаем:
\(\cos x = \frac{1}{6\sin x}\).

Подставим \(\sin x = 1\):
\(\cos x = \frac{1}{6}\).

Таким образом, у нас есть одно значение \(x_1\), при котором график \(y = \sin x\) и уравнение совпадают.

Шаг 5: Определение интервала, на котором оба условия выполняются.
Условие \(0 \leq x \leq \frac{9\pi}{4}\) ограничивает наш интервал для решения.

Заметим, что \(\frac{\pi}{2}\) соответствует первому квадранту, где \(\sin x > 0\) и \(\cos x > 0\).
Арккосинус \(\frac{1}{6}\) лежит в диапазоне значения арккосинуса, для которого \(\cos x > 0\) и \(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\).

Таким образом, наш интервал [0; 9π/4] также содержит значения \(x_1\).

Итак, уравнение \(2\tan x/(1+\tan^2x) = 1/3\) имеет 1 корень на интервале [0; 9π/4], при условии графика \(y = \sin x\), и это значение \(x_1\), где \(\sin x = 1\) и \(\cos x = 1/6\).