Сколько корней имеет уравнение cos ( 90 - x ) = sin ( 180 + 2x ) на интервале от -200 градусов до 300 градусов?

Дмитриевич

55

Для решения данной задачи нам необходимо найти количество корней уравнения \(\cos(90 - x) = \sin(180 + 2x)\) на заданном интервале от -200 градусов до 300 градусов.

Давайте начнем с упрощения уравнения. Мы можем использовать следующие тригонометрические тождества:

\(\cos(90 - x) = \sin x\) (идентичность кофункции)
\(\sin(180 + 2x) = \sin(-180 - 2x) = -\sin(2x)\) (дополнительный угол)

Заменим соответствующие части уравнения и получим:

\(\sin x = -\sin(2x)\)

Теперь мы можем применить тригонометрические свойства к этому уравнению. Уравнение будет иметь корни в следующих случаях:

1. Когда \(\sin x = 0\) и \(-\sin(2x) = 0\)
2. Когда \(\sin x \neq 0\) и \(-\sin(2x) \neq 0\), но \(\sin x\) и \(-\sin(2x)\) равны по амплитуде и имеют противоположные знаки.

Посмотрим на первый случай:

Когда \(\sin x = 0\), мы знаем, что синус равен нулю для угла, равного 0, 180, 360 и т.д. градусов.

Теперь рассмотрим второй случай:

Когда \(\sin x \neq 0\) и \(-\sin(2x) \neq 0\), мы можем записать условие следующим образом:

\(\sin x = -\sin(2x)\)

Перейдем к равенству по амплитудам:

\(|\sin x| = |\sin(2x)|\)

Угол \(x\) находится в диапазоне от -200 до 300 градусов. Давайте разобьем этот диапазон на четыре интервала и проверим каждый интервал:

1. Диапазон -200 градусов до 0 градусов:
В этом диапазоне у нас будет один корень уравнения \(\sin x = -\sin(2x)\). Он будет находиться в районе -180 градусов.

2. Диапазон 0 градусов до 90 градусов:
В этом диапазоне у нас нет корней, так как \(\sin x \neq -\sin(2x)\).

3. Диапазон 90 градусов до 180 градусов:
В этом диапазоне у нас будет один корень уравнения \(\sin x = -\sin(2x)\). Он будет находиться в районе 90 градусов.

4. Диапазон 180 градусов до 300 градусов:
В этом диапазоне у нас нет корней, так как \(\sin x \neq -\sin(2x)\).

Итак, на заданном интервале от -200 градусов до 300 градусов у уравнения \(\cos(90 -x) = \sin(180 + 2x)\) будет два корня: -180 градусов и 90 градусов.