Сколько корней имеет уравнение ctg2x * sin4x - cos4x -sin3x = 0 на интервале [0;2п]?

Аида

25

Для начала, давайте разберемся с уравнением и выразим его в более простой форме. Уравнение, которое дано, выглядит следующим образом:

\[\text{ctg}(2x) \cdot \sin^4(x) - \cos^4(x) - \sin^3(x) = 0\]

Мы можем использовать некоторые тригонометрические тождества для упрощения этого выражения. Для начала, обратимся к тема тригонометрии и вспомним некоторые важные тригонометрические формулы:

\[\text{ctg}(x) = \frac{1}{\tan(x)}\]
\[\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\]
\[\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x)\]

Теперь мы можем заменить значения в нашем исходном уравнении, используя эти формулы. Заметим также, что \(\sin^2(x) = \sin(x) \cdot \sin(x)\).

\[\frac{1}{\tan(2x)} \cdot \sin^4(x) - \cos^4(x) - \sin(x) \cdot \sin^2(x) = 0\]

Дальше, мы можем раскрыться и упростить уравнение, применив формулы и свойства.

\[\frac{\sin^4(x)}{\tan(2x)} - \cos^4(x) - \sin^3(x) \cdot \sin(x) = 0\]

\[\frac{\sin^4(x)}{\tan(2x)} - \cos^4(x) - \sin^4(x) = 0\]

\[\sin^4(x) \left(\frac{1}{\tan(2x)} - 1 - 1\right) = 0\]

\[\sin^4(x) \left(\frac{1}{\tan(2x)} - 2\right) = 0\]

Теперь, чтобы найти корни уравнения, мы должны рассмотреть два случая: когда \(\sin(x) = 0\) и когда \(\frac{1}{\tan(2x)} - 2 = 0\).

Случай 1: \(\sin(x) = 0\)

Если \(\sin(x) = 0\), то у нас есть два возможных значения для \(x\): \(x = 0\) и \(x = \pi\).
Оба эти значения находятся в интервале \([0; 2\pi]\), поэтому они удовлетворяют условию задачи.

Случай 2: \(\frac{1}{\tan(2x)} - 2 = 0\)

Для начала, найдем значения \(\frac{1}{\tan(2x)}\), удовлетворяющие данному уравнению:

\[\frac{1}{\tan(2x)} = 2\]

\[\tan(2x) = \frac{1}{2}\]

Воспользуемся тригонометрическими свойствами и формулами, чтобы решить это уравнение. Напомним, что \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

\[\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{1}{2}\]

Заменим \(\sin(2x)\) и \(\cos(2x)\) с использованием тригонометрических формул.

\[\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x) - \sin^2(x)} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x) - \sin^2(x)} - \frac{1}{2} = 0\]

\[\frac{2\sin(x)\cos(x) - (\cos^2(x) - \sin^2(x))}{\cos^2(x) - \sin^2(x)} = 0\]

\[\frac{2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x) - \sin^2(x)} = 0\]

\[\frac{\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) - \cos^2(x)}{\cos^2(x) - \sin^2(x)} = 0\]

\[\frac{(\sin(x) - \cos(x))(\sin(x) + \cos(x))}{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))} = 0\]

Мы получили два случая:
\[\sin(x) - \cos(x) = 0\]
Или
\[\sin(x) + \cos(x) = 0\]

Решим первый случай:
\[\sin(x) - \cos(x) = 0\]

Применяя знание тригонометрии, мы знаем, что угол, при котором \(\sin(x) = \cos(x)\), равен \(x = \frac{\pi}{4}\).

Решим второй случай:
\[\sin(x) + \cos(x) = 0\]

Применяя знание тригонометрии, мы знаем, что угол, при котором \(\sin(x) = -\cos(x)\), равен \(x = \frac{3\pi}{4}\).

Оба эти значения \(x\) попадают в интервал \([0; 2\pi]\), поэтому они также удовлетворяют условию задачи.

Таким образом, уравнение ctg2x * sin4x - cos4x -sin3x = 0 на интервале [0;2п] имеет 4 корня: \(x = 0\), \(x = \pi\), \(x = \frac{\pi}{4}\) и \(x = \frac{3\pi}{4}\).