Сколько корней уравнения √2 cos(90+x)sin(90-x)=sin(270+x) приходится на интервале (-250;150)?

Buran

30

Для решения данной задачи, давайте обратимся к уравнению и найдем количество его корней на заданном интервале.

Исходное уравнение: \(\sqrt{2} \cos(90 + x) \sin(90 - x) = \sin(270 + x)\)

Чтобы упростить уравнение, воспользуемся формулами тригонометрии.

Заметим, что \(\cos(90 + x) = -\sin(x)\) и \(\sin(90 - x) = \cos(x)\).

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\(\sqrt{2} (-\sin(x)) \cos(x) = \sin(270 + x)\)

\(-\sqrt{2} \sin(x) \cos(x) = -\sin(x)\)

Нам нужно определить, сколько корней имеет это уравнение на заданном интервале (-250;150). Давайте разобьем этот интервал на несколько подинтервалов и рассмотрим значения уравнения на каждом из них.

1. Подинтервал (-250;-180):
На данном интервале значение угла \(x\) лежит в промежутке от -250 до -180.
Подставим значения в уравнение:

\(-\sqrt{2} \sin(x) \cos(x) = -\sin(x)\)

Учитывая, что \(\sin(x)\) не может быть равным нулю, уравнение принимает вид:

\(-\sqrt{2} \cos(x) = -1\)

Для решения этого уравнения, разделим обе части на \(-\sqrt{2}\), получаем:

\(\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Вспоминаем значения функции косинуса на промежутке от -250 до -180: \(\cos(x)\) положительное, так как это четвертая четверть окружности. Значит, уравнение имеет корень на данном подинтервале.

2. Подинтервал (-180; 90):
На данном интервале значение угла \(x\) лежит в промежутке от -180 до 90.
Подставим значения в уравнение:

\(-\sqrt{2} \sin(x) \cos(x) = -\sin(x)\)

Учитывая, что \(\sin(x)\) не может быть равным нулю, можно сократить его с обеих сторон:

\(-\sqrt{2} \cos(x) = -1\)

Для решеия этого уравнения, разделим обе части на \(-\sqrt{2}\), получаем:

\(\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Вспоминаем значения функции косинуса на промежутке от -180 до 90: \(\cos(x)\) положительное, так как это первая и вторая четверти окружности. Значит, уравнение имеет корень на данном подинтервале.

3. Подинтервал (90; 150):
На данном интервале значение угла \(x\) лежит в промежутке от 90 до 150.
Подставим значения в уравнение:

\(-\sqrt{2} \sin(x) \cos(x) = -\sin(x)\)

Учитывая, что \(\sin(x)\) не может быть равным нулю, уравнение принимает вид:

\(-\sqrt{2} \cos(x) = -1\)

Для решеия этого уравнения, разделим обе части на \(-\sqrt{2}\), получаем:

\(\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Вспоминаем значения функции косинуса на промежутке от 90 до 150: \(\cos(x)\) положительное, так как это вторая четверть окружности. Значит, уравнение имеет корень на данном подинтервале.

Таким образом, уравнение \(\sqrt{2} \cos(90+x) \sin(90-x) = \sin(270+x)\) имеет три корня на интервале (-250; 150).