Сколько круглых столов разных размеров (на 4, 7 и 13 человек) отнесли в класс, если в столовой осталось 33 свободных

Муравей

1

Для решения этой задачи нам нужно использовать систему уравнений. Обозначим число столов на 4, 7 и 13 человек как \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно.

Исходя из условия задачи, у нас есть следующая система уравнений:

\[
\begin{align*}
x + y + z &= \text{количество столов} \\
4x + 7y + 13z &= \text{всего столов хватало на} \: 59 \: \text{человек} \\
x + y + z + 33 &= \text{количество мест в столовой}
\end{align*}
\]

Нам нужно найти значения переменных \(x\), \(y\) и \(z\), которые удовлетворяют этой системе уравнений.

Давайте приступим к решению системы уравнений. Для начала выразим одну из переменных через остальные две переменные из первых двух уравнений.

Из первого уравнения: \(z = x + y - \text{количество столов}\)

Подставим это значение во второе уравнение:

\(4x + 7y + 13(x + y - \text{количество столов}) = 59\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(4x + 7y + 13x + 13y - 13 \cdot \text{количество столов} = 59\)

Упорядочим коэффициенты при переменных:

\(17x + 20y = 59 + 13 \cdot \text{количество столов} \quad \text{(1)}\)

Теперь воспользуемся третьим уравнением:

\(x + y + (x + y - \text{количество столов}) + 33 = \text{количество мест в столовой}\)

Снова раскроем скобки и упростим уравнение:

\(2x + 2y - \text{количество столов} + 33 = \text{количество мест в столовой}\)

Упорядочим коэффициенты при переменных:

\(2x + 2y = \text{количество мест в столовой} - 33 + \text{количество столов}\quad \text{(2)}\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2), которую мы можем решить. Выразим переменную \(y\) через переменную \(x\) из уравнения (2):

\(2y = \text{количество мест в столовой} - 33 + \text{количество столов} - 2x\)

\(y = \frac{1}{2} \left(\text{количество мест в столовой} - 33 + \text{количество столов} - 2x\right)\)

Теперь подставим это значение \(y\) в уравнение (1):

\(17x + 20 \cdot \frac{1}{2} \left(\text{количество мест в столовой} - 33 + \text{количество столов} - 2x\right) = 59 + 13 \cdot \text{количество столов}\)

Раскроем скобки и упростим:

\(17x + 10(\text{количество мест в столовой} - 33) + 10 \cdot \text{количество столов} - 20x = 59 + 13 \cdot \text{количество столов}\)

Сгруппируем переменные:

\((-3x + 10 \cdot \text{количество столов}) + 10(\text{количество мест в столовой} - 33) = 59\)

Распишем это в более привычной форме:

\((-3x + 10 \cdot \text{количество столов}) + 10 \cdot \text{количество мест в столовой} - 330 = 59\)

Упростим уравнение:

\(-3x + 10 \cdot \text{количество столов} + 10 \cdot \text{количество мест в столовой} = 389\)

Теперь имеем систему уравнений:

\[
\begin{align*}
17x + 20y &= 59 + 13 \cdot \text{количество столов} \\
-3x + 10 \cdot \text{количество столов} + 10 \cdot \text{количество мест в столовой} &= 389
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений для нахождения значения переменной \(x\).

Найденное значение переменной \(x\) будет обозначать количество столов на 4 человека, а значения переменных \(y\) и \(z\) мы можем найти, используя полученное значение для \(x\) в выражении для \(y\) и уравнении \(z = x + y - \text{количество столов}\).

Пожалуйста, предоставьте количество мест в столовой, чтобы мы могли продолжить решение.