Сколько метров должен прыгнуть кенгуру-победитель на Юпитере, чтобы сравнять свой земной рекорд в 2,5 метра? Ускорение

Raduga

67

Для решения данной задачи мы воспользуемся законом сохранения энергии. Условием задачи является равенство кинетической энергии на Земле и на Юпитере.

На Земле кинетическая энергия \(E_{\text{З}}\) массы \(m\) и скорости \(v\) выражается формулой:
\[E_{\text{З}} = \frac{1}{2} m v^2\]

На Юпитере кинетическая энергия \(E_{\text{Ю}}\) массы \(m\) и скорости \(v_{\text{Ю}}\) выражается формулой:
\[E_{\text{Ю}} = \frac{1}{2} m v_{\text{Ю}}^2\]

Ускорение свободного падения на Земле - \(g_{\text{З}} = 9,8 \, \text{м/с}^2\), а на Юпитере - \(g_{\text{Ю}} = 25,8 \, \text{м/с}^2\).

Из условия задачи известно, что на Юпитере кенгуру должно преодолеть такую же высоту, как и на Земле, то есть \(h_{\text{З}} = h_{\text{Ю}}\). Кинематическая формула для вычисления высоты связывает скорость, ускорение и высоту:
\[v_{\text{Ю}}^2 = v_{0_{\text{Ю}}}^2 + 2 \cdot g_{\text{Ю}} \cdot h_{\text{Ю}}\]

Так как скорости на Земле и на Юпитере будут одинаковыми (\(v = v_{\text{Ю}}\)), то по условию задачи \(v_{0_{\text{Ю}}} = 0\), отсюда получаем:
\[v_{\text{Ю}}^2 = 2 \cdot g_{\text{Ю}} \cdot h_{\text{Ю}}\]

Аналогично на Земле для \(h_{\text{З}}\) будет выполняться:
\[v^2 = 2 \cdot g_{\text{З}} \cdot h_{\text{З}}\]

Теперь мы можем подставить значения \(g_{\text{З}}\), \(g_{\text{Ю}}\), \(v\) и \(h_{\text{З}}\) в эти уравнения и решить систему относительно \(h_{\text{Ю}}\).

\[v^2 = 2 \cdot g_{\text{З}} \cdot h_{\text{З}}\]
\[v_{\text{Ю}}^2 = 2 \cdot g_{\text{Ю}} \cdot h_{\text{Ю}}\]

Подставляя значения и упрощая выражения, получим:

\[2,5^2 = 2 \cdot 9,8 \cdot h_{\text{З}}\]
\[v_{\text{Ю}}^2 = 2 \cdot 25,8 \cdot h_{\text{Ю}}\]

\[6,25 = 19,6 \cdot h_{\text{З}}\]
\[v_{\text{Ю}}^2 = 51,6 \cdot h_{\text{Ю}}\]

Решим первое уравнение относительно \(h_{\text{З}}\):
\[h_{\text{З}} = \frac{6,25}{19,6} \approx 0,318\]

Теперь решим второе уравнение относительно \(h_{\text{Ю}}\):
\[h_{\text{Ю}} = \frac{v_{\text{Ю}}^2}{51,6}\]

Заметим, что \(v_{\text{Ю}}\) нам неизвестно, поэтому проливим свет на \((v_{\text{Ю}})^2\). Предполагая, что скорость на Юпитере близка к скорости на Земле, возьмём приближение \(v_{\text{Ю}} \approx v = 2,5 \, \text{м/с}\).

Теперь можно решить уравнение и найти \(h_{\text{Ю}}\):
\[h_{\text{Ю}} = \frac{2,5^2}{51,6} \approx 0,122\]

Таким образом, кенгуру-победителю на Юпитере нужно прыгнуть примерно на высоту \(0,122 \, \text{м}\), чтобы сравнять свой земной рекорд в 2,5 метра. Ответ округляем до десятых, получаем \(0,1 \, \text{м}\).